Найдите все простые числа p и q такие, что p+q = (p-q)^3.

Рассмотрим, какие могут быть остатки при делении p, q на 3.

остаток p отстаток q остаток p + q остаток (p – q)³0000•0111•0–1–111011•11–101–10–1–10–1–1•–110–1–1–110
(Отмеченные • строки содержат случаи одинаковых остатков p + q и (p – q)³.)

Мораль: если p + q = (p – q)³, то либо p = 3, либо q = 3.

Если p = 3, то 3 + q = (3 – q)³. При q = 2 равенство не выполняется, при q ≥ 3 слева положительное, справа — нет.

Если q = 3, то p + 3 = (p – 3)³. Раскроем скобки:

p + 3 = p³ – 9² + 27p – 27,
p³ – 9p² + 26p – 30 = 0.

Один корень «очевиден»: p = 5.

p³ – 9p² + 26p – 30 = (p – 5)(p² – 4p + 6).

Уравнение p² – 4p + 6 = 0 целых корней (впрочем как и вообще действительных) не имеет.

Рассмотрим данное уравнение:

p + q = (p – q)³

Раскроем куб:

p + q = p³ – 3p²q + 3pq² – q³

Перенесем все слагаемые в левую часть:

p³ – 3p²q + 3pq² – q³ – p – q = 0

Преобразуем выражение:

(p – q)³ – (p + q) = 0

(p – q)³ = (p + q)

Теперь заметим, что если p и q – простые числа, то p + q – четное простое число, а значит, p и q должны быть нечетными простыми числами. Также заметим, что p и q не могут быть равными, иначе получим p = q = 0, что не является простым числом.

Таким образом, мы можем представить p и q в виде:

p = 2n + 1, где n – натуральное число

q = 2m + 1, где m – натуральное число

Подставим эти выражения в уравнение (p – q)³ = (p + q):

(2n + 1 – 2m – 1)³ = 2n + 2m + 2

(2n – 2m)³ = 2(n + m + 1)

Таким образом, (2n – 2m) должно быть равно 2, что возможно только при n = m + 1 или m = n + 1.

Если n = m + 1, то получаем:

(2n – 2m)³ = 2(n + m + 1)

2³ = 2(2m + 1 + m + 2)

8 = 6m + 6

m = 1

Тогда n = 2, и получаем:

p = 2n + 1 = 5

q = 2m + 1 = 3

Если m = n + 1, то получаем:

(2n – 2m)³ = 2(n + m + 1)

(-2)³ = 2(2n + 1 + n + 2)

-8 = 6n + 6

n = -2

Такое решение не подходит, так как n должно быть натуральным числом.

Таким образом, единственным решением является p = 5, q = 3.