Укажите число корней уравнения f(x)=p, где p - любое действительное число - что это значит?

Корень этого уравнения - такое значение икс, при котором график f(x) пересечется с прямой y=p Действительное число - это любое число в твоем понимании: 1, 45, -1345, пи и т. д. Число корней определяется степенью уравнения. Уравнение первой степени может иметь один действительный корень или не иметь корней, второй - два корня, один корень (хотя один корень в квадратном уравнении - на самом деле тоже два) или не иметь корней, третьей степени - три, один или не иметь. И так далее.. . Если f(x) - функция периодическая, то корней может либо не быть (sinx=5) или их может быть бесконечно много (tgx=2)

я конечно не уверен, но попойму корней нет при p не равном 0, если p=0, х - любое число, значит бесконечное множество корней

МОЖЕТ ЭТО ПОМОЖЕТ
Из f(x)=0 следует f(z)((x)=0, где в качестве ((x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.

Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т. е. z - алгебраическое число степени n.
Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

Пример:
1) - алгебраическое число 3-й степени, т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=xn+b1xn-1+ ..+bn (n(1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z.
Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.
Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член.

Пример:
1) Минимальным многочленом для является x3-2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами.

Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т. е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде:
F(x)=f(x)g(x)+r(x)
где g(x) и к (ч) - многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z - корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т. е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана.

Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.
Доказательство:
Пусть f(x) - минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т. е. , что f(x)=((x)((x), ((x)((x) - многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n.
Из равенства ((x)((x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел ((x) и ((x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например ((x)=0, тогда z - корень тождественно не равного нулю многочлена ((x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т. е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) - минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т. е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана.

Теорема 3: Если z корень неприводимо