При каких значениях a все корни уравнения 3ax2 +(3a3 - 12a2 - 1)x - a(a - 4) = 0 удовлетворяют условию |x| < 1?

Выразим дискриминант D квадратного трехчлена 3ax^2 +(3a^3 - 12a^2 - 1)x - a(a - 4) через параметр а.
Для этого воспользуемся формулой
D = b^2 - 4ac,
где а = 3а, b = 3a^3 - 12a^2 - 1, с = -a(a - 4).
Получим
D = (3a^3 - 12a^2 - 1)^2 - 4 * 3a * (-a(a - 4)) =
= (3a^3 - 12a^2 - 1)^2 + 4(3a^3 - 12a^2).
Обозначим
3a^3 - 12a^2 - 1 = м,
получим
D = м^2 + 4(м + 1) =
= м^2 + 4м + 4 =
= (м + 2)^2.
По условию исходное уравнение должно иметь корни (1 или 2).
Это возможно при неотрицательном дискриминанте, т. е. D >= 0.
Решим неравенство
(м + 2)^2 >= 0.
По свойству четной степени числа это условие выполняется при любом значении основания степени.
Имеем
м - любое число.
По обратной замене
3a^3 - 12a^2 - 1 - любое число, а значит параметр а - любое число.
Мы показали, что при любом значении параметра а исходное уравнение имеет хотя бы один корень.
Выразим корни исходного уравнения через параметр а по формуле х = (-b +- кор (D)) / 2а
(I) х = (-(3a^3 - 12a^2 - 1) - (3a^3 - 12a^2 - 1 +2)) / (2*3а) =
= (-3а^3 + 12a^2 + 1 - 3a^3 + 12a^2 - 1) / 6a =
= (-6a^3 + 24a^2) / 6a =
= -a^2 + 4a =
= -a(a - 4);
(II) x = (-(3a^3 - 12a^2 - 1) + (3a^3 - 12a^2 - 1 +2)) / (2*3а) =
= (-3а^3 + 12a^2 + 1 + 3a^3 - 12a^2 + 1) / 6a =
= 2/(6a) = 1/(3a).
По условию оба корня должны выполнять ограничение |x| < 1.
Смысл этого ограничения выражает двойное неравенство
-1 < x < 1.
Получаем систему неравенств относительно переменной а, решения которой и будут искомые значения параметра а
(I) -1 < -a(a - 4) < 1;
(II) -1 < 1/(3a) < 1.
Каждое из неравенств распишем как систему из двух неравенств.
Из неравенства (I) получаем по методу интервалов
(III) -1 < -a(a - 4)
a^2 - 4a - 1 < 0
2 - кор (5) < a < 2 + кор (5);
(IV) -a(a - 4) < 1
a^2 - 4a + 1 > 0
a < 2 - кор (3) или а > 2 + кор (3).
Из неравенства (II)
(V) 3a < -1 или 3а > 1
a < -1/3 или a > 1/3.
Запишем общее решение системы неравенств (III) (IV) (V), учитывая, что
-1/3 < 2 - кор (5) < 2 - кор (3) < 1/3 < 2 + кор (3) < 2 + кор (5),
2 + кор (3) < a < 2 + кор (5).
Ответ: 2 + кор (3) < a < 2 + кор (5).

При а = 0
и при всех а, удовлетворяющих системе

f(-1)f(1) > 0
D ≥ 0

Считайте.

"Ничто не обходится намъ такъ дешево и не цѣнится такъ дорого, какъ вѣжливость. "

Донъ-Кихотъ Ламанчскій.
Сочиненіе Мигуэля Сервантеса Сааведры

Потеряно значение а=0, при котором х=0, что также удовлетворяет условию задачи.