При каких значениях x функция принимает отрицательные значения? f(x) = (x^2-3x+2)/(x3-5x^2+4x)

Ваша задача равносильна неравенству: (x^2-3*x+2)/(x3-5*x^2+4*x) < 0,
Разложим на множители:
((х-1)*(х-2))/(x*(x-1)*(x-4)) < 0.
Определяем ОДЗ: х ≠ 0 U x ≠ 1 U x ≠ 4. (При решении методом интервалов, эти точки будут "выколотыми", т. к в этих точках функция имеет разрыв.
Ни один сомножитель в знаменателе не равен нулю. Поэтому неравенство не изменится, если мы умножим его на x^2*(x-1)^2*(x-4)^2, тогда получается:
х*(х-1)^2*(х-2)*(х-4) < 0.
Отмечаем на числовой оси точки х=0, х=1, х=2, х=4, не забываем, что точки х=0, х=1 и х=4 - выколоты. Рисуем "змейку". При х > 4, значение функции положительно, в интервале (2; 4) = отрицательно, в интервале (1; 2) - положительно. Точка х=1 входит дважды, поэтому знак "змейки" не меняем, т. е в интервале (0; 1) значение функции остается положительным, левее точки х=0 - значение функции отрицательно.
Решение: (-∞; 0) U (2; 4).

Ваша функция: f(x)=(x-1)(x+2)/[x(x-4)(x-1)]
Интервал: ]-∞; -2[ ∪ ]0; 1[ ∪ ]1; 4[

Для того, что бы ответить на вопрос, нужно решить неравенство f(x) < 0
(x^2 - 3x + 2) / (x^3 - 5x^2 + 4x) < 0
Не будем мы указывать область допустимых значений, так как неравенство у нас строгое и сразу перейдём к равносильному:
x(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 5x + 4) < 0
по Виета видим корни уравнений в 1-й и 2-й скобках:
x(x - 1)(x - 2)(x - 1)(x - 4) < 0
x(x - 4)(x - 2)(x - 1)^2 < 0
Расставив нули функции на числовой оси и, воспользовавшись методом интервалов, заключаем, что
x < 0