отрезок KL является диаметром некой окружности....

Обозначим точку пересечения KP и QL как А. Поскольку AP = AQ = 1, то есть расстояния одинаковы, то отрезки KP и QL тоже одинаковы KP = QL = х. То есть отрезки AK = AL = 1 + x.
AKL - равнобедренный треугольник. А поскольку его угол равен 60 гр, то он равносторонний.
Значит, диаметр окружности KL = AK = AL = 1 + x.
Теперь проведем отрезок PL и получим треугольник KPL. Он прямоугольный, потому что угол, опирающийся на диаметр - прямой.
Получили прямоугольный треугольник KPL, у которого гипотенуза KL = 1 + x, а катет KP = х.
Причем этот катет KP находится против угла в 30 градусов, а значит равен половине гипотенузы.
Получаем простое уравнение: 1 + х = 2х, откуда х = 1
Диаметр KL = 1 + x = 2, радиус равен 1.

Решение.
AP*AK=AQ*AL
1*AK=1*AL
AK=AL
< QLK=60= < KAL
Треугольник KAL - равносторонний. AK=AL=KL=2R
< KLP=30 KP=KL/2=R
AP=AK--KP=2R-R=R
R=1

Решение. Пусть M —‍ точка пересечения прямых KP‍ и LQ.‍ Точка M‍ не может лежать на окружности. Если M‍ расположена внутри круга, то KM · MP = LM · MQ.‍ Поэтому KM = ML,‍ что невозможно.
Если точка M‍ расположена вне круга, то MP · MK = MQ · ML.‍ Поэтому KM = ML.‍ Тогда треугольник KML —‍ равносторонний. Его высота KQ‍ является медианой. Следовательно,
KL = ML = 2MQ = 2,‍
а искомый радиус равен 1.