Пожалуйста, проверьте знаки препинания. (2)

Правильно расставлены знаки в предложениях:
1. Отныне он всеми средствами боролся за то, чтобы они оставили его страну – колыбель ислама.
2. Никто не сомневался, что новый удар по Америке не заставит себя ждать.
3. В 1996 году под давлением властей США бен Ладена изгнали из Судана. (Здесь нет оснований ставить запятые, как Вам советуют, так как в 1996 году – обстоятельство времени, а под давлением властей США – обстоятельство причины, то есть нет уточняющего и уточняемого членов предложения) .
4. Движение «Талибан» видело в бен Ладене родственную душу и предоставило ему все условия для создания тренировочных баз.
6. Президент США Билл Клинтон приказал найти и схватить бен Ладена, заморозив его счета. (Ни тире, ни скобок ни в коем случае здесь нельзя ставить: подлежащее Билл Клинтон является определяемым словом по отношению к приложению президент США, стоящему перед определяемым словом. Это с точки зрения синтаксиса всё равно, что поэт Пушкин) .
7. Бен Ладен – основатель и вдохновитель «Аль-Каиды» , но он не единственный её руководитель.

Пропущена запятая в предложении:
5. Закончив обучение, члены «Аль-Каиды» приступили к работе, действуя маленькими группами и не имея выхода на высшие ступени иерархической лестницы. (Обособляем однородные обстоятельства, выраженные деепричастными оборотами и соединённые одиночным союзом И) .

Лишняя запятая в предложении:
8. Его правая рука - Айман аз-Завахири, который отсидел в тюрьме за соучастие в убийстве президента Египта Анвара Садата в 1981 году.

Кроме того, есть следующие ошибки:
1. Со строчной буквы надо писать бен, так как это не имя, зовут (звали) его Усама.
2. Текст исторического толка, поэтому надо быть точным в датах: не в 96 году, а в 1996 году; не в 81-м, а в 1981 году (окончания к числительным, обозначающим год, приписывать не полагается)

5..,.приступили к работе, действуя
ошибок вроде бы больше нет.
Не исправляй правильное на неправильное.

5. Закончив обучение, члены «Аль-Каиды» приступили к работе, действуя маленькими группами и не имея выхода на высшие ступени иерархической лестницы.
(деепричастный оборот)

3.В 96 году, под давлением властей США, Бен Ладена изгнали из Судана
5.Закончив обучение, члены «Аль-Каиды» приступили к работе, действуя маленькими группами и, не имея выхода на высшие ступени иерархической лестницы.

В 96 году, под давлением властей США, Бен Ладена изгнали из Судана (причастный оборот... )
Президент США (Билл Клинтон) приказал найти и схватить Бен Ладена, заморозив его счета. (сноска на лицо)
всё на что моего мозга хватило (скобки не знак припинания для инфы)

5. Закончив обучение, члены "Аль-Каиды" приступили к работе, действуя ...
8. ..в убийстве президента Египта Анвара Садата в 81-м году.
Всё остальное правильно, уверяю вас.

3. В 96 году, под давлением властей США, Бен Ладена изгнали из Судана

6. Президент США - Билл Клинтон приказал найти и схватить Бен Ладена, заморозив его счета.

8. Его правая рука - Айман аз-Завахири, который отсидел в тюрьме за соучастие в убийстве президента Египта Анвара Садата в 81-м году.

В 96 году, под давлением властей США, Бен Ладена изгнали из Судана .(это не причастный оборот, а уточнение)
Президент США Билл Клинтон приказал найти и схватить Бен Ладена, заморозив его счета. - здесь все правильно. если бы было "Билл Клинтон, президент США,... " - нужны бы были запятые (приложение)
Закончив обучение, члены «Аль-Каиды» приступили к работе, действуя маленькими группами и не имея выхода на высшие ступени иерархической лестницы. (деепричастный оборот)
Его правая рука - Айман аз-Завахири, который отсидел в тюрьме за соучастие в убийстве президента Египта Анвара Садата в 81-м году. - запятая перед "в 81-м году. " не нужна.