Как решать такое иррациональное уравнение третьей степени?

Как раз возведением обеих частей уравнения в куб его можно решить.

∛(2x + 1) + ∛(6x + 1) = ∛(2x - 1)

Возводим обе части ур-ия в куб и получаем:

2x + 1 + 3∛(2x + 1)² · ∛(6x + 1) + 3∛(2x + 1) · ∛(6x + 1)² + 6x + 1 = 2x - 1

3∛(2x + 1) · ∛(6x + 1) · (∛(2x + 1) + ∛(6x + 1) = -6x - 3

Теперь внимательно посмотри на это уравнение и исходное уравнение.

Сумму ∛(2x + 1) + ∛(6x + 1) можно заменить на ∛(2x - 1)

3∛(2x + 1) · ∛(6x + 1) · ∛(2x - 1) = -6x - 3

∛((2x + 1)(6x + 1)(2x - 1)) = -2x - 1

Возводим обе части этого ур-ия в куб:

(2x + 1)(6x + 1)(2x - 1) = -(2x + 1)³

(2x + 1)((6x + 1)(2x - 1) + (2x + 1)²) = 0

16x²(2x + 1) = 0

x = -0,5

x = 0

Нужно сделать проверку подстановкой найденных решений в исходное уравнение, так как были проведены неравносильные преобразования.

x = 0 ⇒ ∛1 + ∛1 = ∛-1 ⇒ 2 ≠ -1 ⇒ x = 0 не является решением.

x = -0,5 ⇒ ∛0 + ∛-2 = ∛-2 ⇒ ∛-2 = ∛-2 ⇒ x = -0,5 является решением.

Ответ: -0,5

Не надо в куб возводить.
Лемма:
При любых действительных х и у справедливо неравенство x^2 + xy + y^2 >= 0.
Теперь обозначай кор. куб (2х + 1) = а
кор. куб. (6х + 1) = в
кор. куб (2х + 1) = с
Получишь систему
а + в = с
a^3 - c^3 = 2
3a^3 - в^3 = 2
Преобразуешь и получаешь в конце концов
3а (a^2 + в^2 + aв) = 0
Согласно лемме, получим а = 0
Тогда 2х + 1 = 0
х = -0,5

логорифмированием, по основанию десять=) показатель степени (1/3) тогда просто можно будет опустить, и сократить.. .