Как решить (иррациональные уравнения и неравенства)?

1) ∜((5x + 7)/(8 - 3x)) > -2;

Поскольку корень может принимать только неотрицательные значения, то достаточно решить неравенство ∜((5x + 7)/(8 - 3x)) ≥ 0 --> -7/5 ≤ x < 8/3;

Ответ: [-7/5; 8/3).

2) √(x + 3) + √(3x - 2) = 7 |^2

√((x + 3)(3x - 2)) = 24 - 2x

Можно еще раз возвести в квадрат (но при условии, что 24 - 2x ≥ 0 --> x ≤ 12):

3x² + 7x - 6 = 576 - 96x + 4x² --> x² - 103x + 582 = 0 --> x = 97 (не удовлетворяет условию возведения) ; x = 6;

Ответ: 6.

Закавыка вот где.
Вначале имеешь:
√(х+3) + √(3*х-2)=7 (1)
Слева сумма неотрицательных, справа положительное, всё нормально.
Далее ты преобразуешь в такое:
√(х+3) = 7- √(3*х-2) (2)
И далее просто возводишь в квадрат. А так нельзя. И в уравнении 2 нужно проверять знаки. Слева √(х+3) - неотрицательное, а вот справа (7- √(3*х-2)) МОЖЕТ ОКАЗАТЬСЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ. Поэтому, прежде чем возводить в квадрат, нужно ОГРАНИЧИТЬ ПРАВУЮ ЧАСТЬ УРАВНЕНИЯ (2) следующим условием:
(7- √(3*х-2)) >= 0, откуда 7 >= √(3*х-2) (3), обе части неравенства неотрицательны, значит можно возвести в квадрат,
получаем: 49 >= 3*x-2, 3*x <= 51, x <=17.
Значит, для уравнения (2) ОДЗ: (2/3) <= x <= 17.
А корень 97 получается при решении такого уравнения (4):
√(х+3) = √(3*х-2)-7 (4). А уравнения (2) и (4) - НЕЭКВИВАЛЕНТНЫ.

Ответ
V(x+3) + V(3x-2) = 7
[V(x+3) + V(3x-2)]^2 = 7^2
x+3 + 2V{(x+3)(3x-2)} + 3x-2 = 49
2V{(x+3)(3x-2)} = 48 - 4x
[V{(x+3)(3x-2)}]^2 = [24 - 2x]^2
3x^2 + 9x - 2x - 6 = 576 - 96x + 4x
3x^2 + 99x - 582 = 0
x^2 + 33x - 194 = 0
Дальше легко.

√3x-2=5x-8