Покажу два способа решения.
Первый (стандартный) с использованием производной.
Найдём критические точки из условия f'(x) = 0
f'(x) = (−27x² − 18x) / (81x⁴ + 108x³ + 72x² + 24x + 4)
f'(x) = 0 ⇒ −27x² − 18x = 0 ⇒ x = 0, x = −2/3
Производная существует при всех действительных x, значит, критических точек всего две x = 0, x = −2/3
Нанесём точки x = 0, x = −2/3 на числовую прямую и определим знак производной на каждом из полученных промежутков:
Вычислим значения функции f(x) в точках экстремума.
f(max) = f(0) = 1/2
f(min) = f(−2/3) = −1/2
Ответ: наибольшее значение функции f(x) равно 1/2, а наименьшее занчение функции f(x) равно −1/2.
Второй. Идея этого способа в том, что нужно рассмотреть функцию как параметр и определить, при каких наиб. и наим. значениях параметра уравнение будет иметь решение.
Пусть (3x + 1) / ((3x + 1)² + 1) = a
Замена: 3x + 1 = t, тогда:
t / (t² + 1) = a ⇔ t = a(t² + 1) ⇔ at² − t + a = 0
Получили квадратное уравнение, которое имеет решение при D ≥ 0.
D = 1 − 4a² ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1/2
Наибольшее значение параметра а равно 1/2, а наименьшее -1/2. А это значит, что наибольшее значение функции f(x) равно 1/2, а наименьшее занчение функции f(x) равно −1/2.
