для чего в математике применяется абсолютная величина или модуль?!

А ты вспомни младшую школу, когда отрицательных чисел не знал. Тогда вся изучаемая математика была арифметикой над модулями

У тебя балланс мобильного счёта -$2 (т. е. 2 доллара задолженности) . В этот момент твой сотовый оператор объявляет акцию, согласно которой абоненты, у которых на счету балланс +$5 и больше получают скидку на тарифы (реальная акция, проводимая сейчас белорусским МТС) . Ты как человек который хотя и не умеет считать модули, но умеет считать деньги хочешь эту скидку получить. Минимальная сумма которую ты положишь на свой счёт какова? Правильно, 2+5=7 долларов (2 чтобы вылезти из "минусов" и 5 чтобы иметь достаточный балланс и экономить на оплате разговоров) . Так вот: в данном случае ты складываешь модули. Задолженность в 2 доллара - это положительное число - но оно отражает -2 доллара балланса.

Минус или плюс задаёт направление на некой числовой прямой в данном случае - кто кому должен (ты мобильному оператору или он тебе) ; модуль же числа - это как раз величина (пускай даже со слишком официальным названием "абсолютная") суммы (на "зелёных" купюрах же минус не нарисован вне зависимости получаешь ты их или тратишь! )

То же с температурой: когда мы говорим "2 градуса мороза", "мороз усиливается" мы имеем ввиду температуру по абсолютной величине - модулю, ведь когда мороз увеличивается это значит, что температура как раз уменьшается!

Абсолютная величина числа не зависит от его знака. Например, вектор может быть направлен противоположно положительному направлению оси координат, но его длина всегда будет положительна.