Почему в склонении прил-ых ср. р. с мягк. осн. пишется то Е, то И. Например: охотнич-ий, -им, но охотнич-его, -ему

В слове охотничий -ИЙ не окончание, а суффикс, а в словах охотничьего, охотничьему мы условно графически выделяем окончания -ЕГО, -ЕМУ (кстати, это могут быть формы родительного и дательного падежей и в мужском, и в среднем роде) , но в уме держим, что в букве Е – два звука, первый из которых – суффикс, а второй относится к окончанию. Наберитесь терпения, чтобы прочитать объяснения.

В данном случае мы имеем дело с притяжательными прилагательными на -ий: охотничий, бараний, волчий, лисий, фазаний, беличий и т. д.

-ИЙ в таких прилагательных – это суффикс, который образовал данные слова от существительных. Окончание в мужском роде – нулевое. В формах женского, среднего рода, а также множественного числа, гласная в суффиксе -ИЙ подвергается количественной и качественной редукции, исчезает, в суффиксе остаётся только звук [й’], причём "прячется" он в буквах Я, Е, И, второй звук которых и является окончанием: охотничья [й’а] , охотничье [й’э] , охотничьи [й’и] . То есть в именительном и винительном падежах у этих прилагательных окончания такие же, как в глаголах прошедшего времени и в кратких прилагательных, в остальных падежах – окончания полных прилагательных.
Мужской род:
И. охотничий (окончание нулевое)
Р. охотничьего [й’/э] (/ разделяет в частичном фонетическом разборе суффикс и 1-й звук окончания)
Д. охотничьему [й’/э]
В. охотничий (окончание нулевое)
Т. охотничьим [й’/и]
П. об охотничьем [й’/э]

Склонение прилагательных в форме среднего рода такое же, как и прилагательных мужского рода, отличаться будут только именительные и винительные падежи (это касается вообще всех прилагательных, а не только притяжательных с суффиксом -ИЙ) :
И. охотничье [й’/э]
Р. охотничьего [й’/э]
Д. охотничьему [й’/э]
В. охотничье [й’/э]
Т. охотничьим [й’/и]
П. об охотничьем [й’/э]

То же самое мы наблюдаем и при склонении этого прилагательного в женском роде и во множественном числе: окончания кратких прилагательных в именительном и винительном падежах и окончания полных прилагательных во всех остальных формах.
Женский род:
И. охотничья [й’/а]
Р. охотничьей [й’/э]
Д. охотничьей [й’/э]
В. охотничью [й’/у]
Т. охотничьей [й’/э]
П. об охотничьей [й’/э

Множественное число:
И. охотничьи [й’/и]
Р. охотничьих [й’/и]
Д. охотничьим [й’/и]
В. охотничьи [й’/и]
Т. охотничьими [й’/и]
П. об охотничьих [й’/и]

Ещё обратите внимание, что гласная буква И появляется в условном окончании творительного падежа мужского и среднего рода, а также во всех падежах множественного числа. После мягкого знака гласная буква И тоже обозначает 2 звука: первый [й’], естественно, тоже суффикс, а второй звук [и] – окончание.

Кроме того, в школе изучается правило, согласно которому во всех формах притяжательных прилагательных на -ИЙ, кроме форм именительного и винительного падежей мужского рода, после буквы Ч и после других согласных пишется мягкий знак. Это как бы "компенсация" за утраченную из суффикса букву И.

P.S. Прочитала первый ответ, поэтому хочу ещё раз заострить внимание на том, что в притяжательных прилагательных -ИЙ – суффикс, в отличие от качественных (синий, хороший, ранний, крайний) , где -ИЙ – окончание.

Окончания имен прилагательных проверяются по вопросу - этому детей учат в начальной школе. Например: какой - охотничий (здесь возможны варианты -ой. ий и ый) , какого - охотничьего (здесь твердый и мягкий варинты - ого и его) . какому - охотничьему (ому и ему - твердый и мягкий вариант)