Почему S=at^2/2, хотя S=vt, где v=at, т.е. по идее путь должен быть равен S=at^2 без деления на два ?

s=v*t при равномерном движении, без ускорения! А s=a*t^2/2 это путь при ускоренном движении при условии, что начальный путь и начальная скорость будут равны нулю. Вы сравниваете совсем разные вещи.

Если Вы понимаете почему площадь прямоугольника H*L, а площадь треугольника 1/2H*L, то поймете и это.

Рисуем график зависимости скорости от времени

случай 1) движение с постоянной скоростью - график прямая линия параллельная оси Х.

случай 2) равноускоренное движение с начальной скоростью=0
V = a t - наклонная прямая через начало координат (вида Y=aX)

Путь к моменту времени t=to в обоих случаях - это площадь под кривой от t=0 до t=to. В 1) это площадь прямоугольника S=V*to
Во втором - площадь треугольника с основанием to и высотой a*to (величина скорости к моменту времени to V(to)=a*to) - отсюда
S = 1/2 to * (a*to) = 1/2 at^2

формула S=vt справедлива только для равномерного движения! В этом случае скорость постоянна, а ускорение =0

Геометрический вывод формулы конечно красив. Вот табличное подтверждение. Чем меньше итерация тем ближе к формуле

Путь, пройденный м. т. (материальной точкой) складывается из Хнач. и Vср. *T, Хнач. =0, скорость при равномерном движении неизменна, а при равноускоренном берется средняя (т. е. путь, проделанный м. т. есть Средняя скорость помноженная на время, не так ли?)) Как мы найдем Среднюю скорость Vср? Vср. =(V+Vнач) /2, Vнач=0(по условию), тогда Vср=V/2, но V=A*T(при равноускоренном)! Итак, Х=Vср*Т=V/2*T=A*T*T/2, что и требовалось!)