можно ли вокруг самопересекающегося четырехугольника описать окружность??

Естественно, можно при соблюдении определенных условий. Это условие равенства попарно углов четырехугольника. Либо если из заданного четырехугольника получить Не самопересекающийся четырехугольник, то его свойства должны удовлетворять свойствам вписанного четырехугольника (сумма противоположных углов равна 180 градусам)

От сюда, кстати, вытекает и подобие образованных треугольников.

К указанным свойствам можно добавить свойства двух пересекающихся хорд окружности: равенство произведений отрезков этих хорд. В данном случае это пересекающиеся стороны.

P.S. Каждое из перечисленных свойств вполне достаточно для определения возможности описания окружности.

В данном вопросе не должно быть отличия между самопересекающимися четырехугольниками и прочими четырехугольниками.

Из всех четырех угольников только бесконечно малая часть может быть описана окружностью.
Каждому несамопересекающемуся вписанному4-угольнику соответствуют всегда два самопересекающихся вписанных в ту же окружность.
.
Таким образом всего самопересаекающихся всегда вдвое больше.
Поскольку хоть один несамопересекающийся существует, то и самопересекающийся существует.

А это значит - описать его можно !!

А Семен Аркадьевич даже указал свойства.
Но надо помнить что для несамопересекающихся равны суммы пар противоположных углов, а в самопересекающемся - равны сами вписанные углы. , опирающиеся на одну и туже дугу (замыкающие её)

Можно, если самоНЕпересекающийся (кстати выпуклый) четырёхугольник, построенный на вершинах исходного четырёхугольника удовлетворяет следующему условию:
Сумма его противолежащих углов равна 180 градусов.

Думаю, что нет. Рассуждение такие :через три точки можно провести только одну окружность ( теорема) , четвертую ставим в центре этой окружности, соединяем получаем пересекающийся четырехугольник, через который нельзя провести окружность

нельзяя