В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник наибольшей площади. Каково соотношение площадей этого прямоугольника и

Пусть АВС - равнобедренный треугольник, АВ = ВС = а,
угол ВАС = угол ВСА = f.
Пусть ВД - высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание АС,
точка Д - на стороне АС.

В треугольнике АВС:
ВД = а*sin(f), АС = 2*а*cos(f)
Площадь треугольника АВС:
Sтр = ВД*АС/2 = а^2*sin(f)*cos(f)

Пусть KLMN - вписанный прямоугольник, точки K,N - на основании треугольника АС,
точка L - на стороне АВ, точка M - на стороне ВС.
Определим стороны прямоугольника наибольшей площади.
Обозначим длину отрезка ДN = х (это половина стороны прямоугольника KN).
Вычислим через х вторую сторону прямоугольника MN = у.
Треугольники ВДС и MNС подобны, поэтому
ВД/ДС = MN/NС, то есть
а*sin(f)/( a*cos(f) ) = y/(a*cos(f) - x)
y = a*sin(f) - x*tg(f)
Площадь прямоугольника:
Sпр = 2*х*у = 2*х*(a*sin(f) - x*tg(f)) = 2*х*a*sin(f) - 2*х^2*tg(f)
Для нахождения максимальной площади берем производную по х и приравниваем ее к нулю.
(Sпр) ' = 2*a*sin(f) - 4*х*tg(f) = 0
х = а*sin(f)/(2*tg(f))= а*cos(f)/2

Подставляем найденное значение х в выражение для у:
y = a*sin(f) - x*tg(f) = a*sin(f) - а*cos(f)*( sin(f)/cos(f) )/2 = a*sin(f)/2
Получаем, что площадь прямоугольника (максимальная) :
Sпр = 2*х*у = 2*(а*cos(f)/2)*a*sin(f)/2 = a^2*sin(f)*cos(f)/2

Находим отношение площадей:
Sпр/Sтр = 1/2