найти углы равнобедренного треугольника, если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании

Предполагется, что высота ВD опущена на основание АС равнобедренного треугольника АВС.
АЕ - биссектриса, угол ВАС при основании равен alfa.
Обозначим высоту ВD = h.
h/AD = tg(alfa),
AD = h/tg(alfa),
AC = 2*AD = 2*h/tg(alfa)
Опустим перпендикуляр EF из точки Е на основание АС.
EF = AE*sin(alfa/2) = 2*h*sin(alfa/2),
AF = AE*cos(alfa/2) = 2*h*cos(alfa/2),
EF/FC = tg(alfa) (так как угол ВСА = ВАС = alfa),
FC = EF/tg(alfa) = 2*h*sin(alfa/2)/tg(alfa).
AC = AF + FC = 2*h*cos(alfa/2) + 2*h*sin(alfa/2)/tg(alfa)
Приравниваем два выражения для АС:
2*h/tg(alfa) = 2*h*cos(alfa/2) + 2*h*sin(alfa/2)/tg(alfa)
1/tg(alfa) = cos(alfa/2) + sin(alfa/2)/tg(alfa)
cos(alfa)/sin(alfa) = cos(alfa/2) + sin(alfa/2)*cos(alfa)/sin(alfa)
cos(alfa) = cos(alfa/2)*sin(alfa) + sin(alfa/2)*cos(alfa)
cos(alfa) = sin(alfa + alfa/2) = sin(3*alfa/2) = cos(pi/2 - 3*alfa/2)
alfa = pi/2 - 3*alfa/2
5*alfa/2 = pi/2
alfa = pi/5 = 180/5 = 36 гр
Угол ВАС = угол ВСА = 36 гр
Угол АВС = 180 - 2*36 = 108 гр.

интересная задача. Ответ 20 градусов.
Условие слегка непонятно, я предположил, что высота, о которой идет речь, исходит из той же вершины, что и биссектрисса.

Тогда - высота, биссектрисса и продолжение боковой стороны исходного треугольника образуют прямоугольный треугольник. Угол между биссектриссой и высотой можно вычислить. Его косинус = 0,5 (высота вдвое короче биссектриссы), значит угол равен 60 градусам.
Тогда второй непрямой угол этого треугольника равен 90-60 = 30 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный основанием исходного треугольника, его биссектриссой и частью боковой стороны. Угол между биссектриссой и частью боковой стороны будет равен 180-30 = 150 градусов.
Остальные углы находятся из уравнения
х+2х+150=180
х = 10
2х = 20, это искомый угол при основании