Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых формула и формула выполняется неравенство формула. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых формула и формула выполняется неравенство формула. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

изображение

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале формула мы можем утверждать о возрастании на отрезке формула.

К началу страницы
Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку формула называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство формула. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают формула.

Точку формула называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство формула. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают формула.

Под окрестностью точки формула понимают интервал формула, где формула - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

изображение

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

изображение

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.