Имеет ли кубическая парабола точки экстремума?

Нет. Кубическая парабола экстремумов не имеет.
Первая производная равна нулю в одной точке: х=0; у=0.
Но первая производная равна нулю не только в точках экстремума функции, но и в точках перегиба.
Разница между этими точками простая.
Экстремум - это есть максимум или минимум функции.
Это значит, что на подходе к максимуму функция возрастает, а после него убывает.
Для минимума наоборот - при подходе слева функция убывает, после минимума начинает возрастать (на то он и минимум).
А это значит, что по разные стороны от экстремума первая производная имеет разные знаки.
Как раз по этому признаку и можно определить экстремум - посмотреть (посчитать) знак первой производной до и после.
Перегиб не изменяет поведение функции - в смысле возрастания или убывания.
Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т. е. кривая и касательная взаимно пересекаются.
При прохождении точки перегиба знак первой производной не изменяется.

Можно поступить по-другому - взять вторую производную.
Потому, что там, где вторая производная равна нулю - это и есть точки перегиба.

в них производная ровна нулю и разные знаки при подходе слева и справа типа приделы

"Кубическая парабола экстремумов не имеет." -смотря какая кубическая парабола. Эта - не имеет)))