Помогите пожалуйста с алгеброй. Бывший 8 класс.

1. Чтобы квадратичная кривая пересекали ось Х дважды, уравнение у = 0 должно иметь 2 разных корня. Для этого дискриминант D должен быть положителен:
D = b^2-4ac= 4p^2 - 4(p-2)(2p-3)=4p^2-8p^2+12p+4p-6= -4p^2 +16p - 6 > 0.
p^2-4p+1,5<0. => |x1,2 = 2 +\- ✔️2,5; x1 = 0,419; x2 = 3,58| => (p-0,419)*(p-3,58)<0. Чтобы это неравенство выполнить, надо взять скобки с разными знаками: p-0,419>0 и p-3,58<0. Тогда р>0,419 и р<3,58 => 0,419 < р < 3,58 - а это диапазон р, в котором - двойное пересечение оси ОХ. ЕСЛИ возьмем наоборот: p-0,419<0 и p-3,58>0, то получим отсутствие решений для р.
2. Макс. значение имеет только перевернутая парабола, т. е. при к<0. Её экстремум: 2kx-2 = 0 находится в точке х =1/к. Определяем величину экстремума: 1 - 2/k + k + 1 = 1 => k^2+k-2=0. Его корни +1 и -2. Выбираем -2, чтобы экстремум был максимумом.

Остальные примеры решаются по тому же принципу. В третьем - надо, чтобы б было положительно, а дискриминант - меньше b^2.
В четвертом - чтобы коэффициент при х^2 был положителен, дискриминант - отрицателен.
В пятом - проще в его записать его в виде х^2*(x^2-B^2) = x^4 - B^2*x^2, так что один из корней будет двойным нулем (это даст КАСАНИЕ с осью ОХ, т. е. только тону точку пересечения оси Х для двух корней). Значит: (1-3а) < 0 и а*(2a-1)=0. => a > 1/3 и а = 0, а = 1/2.
Поскольку а = 0 не удовлетворяет требованию а<1/3, то остается только а = 1/2. В итоге,
у = х^4 - 0.5*х^2. Её график - на фото: