Можете ли вы объяснить как решается?

Вот решение примера (а).

Можно переписать уравнение, например, в виде 7х = 50 - 12у.

Поскольку есть лишь немного натуральных у, при которых правая часть есть, как и левая - натуральное число, то проще решить подбором: последовательно подставлять числа 1, 2, 3, 4 вместо у в правую часть и смотреть, при каких у правая часть делится на 7. При у больше 5 решений нет, поскольку начиная с у = 5 в правой части получаются отрицательные числа, которые не являются натуральными.

Итак, при таких у в правой части получаются следующие числа: 38; 26; 14; 2. Из них только 14 делится на 7, это получается при у = 3. Соответствующее значение х при этом равно 2. Итак, только пара (2; 3) есть решение примера (а). В примере (а) мы имеем сумму натуральных чисел, равную заданному числу. Поэтому число решений является конечным (в данном случае - одно, а может и ни одного не быть). Так же обстоит ситуация и с примером (б). А вот в примерах (в) и (г) мы имеем разность: число решений бесконечно и метод подбора здесь неприменим. Здесь применим другой метод - метод остатков.

Рассмотрим на примере (г) как этот метод применяется. Как и прежде, преобразуем равенство так, чтобы слева была зависимость от х, а справа - от у:

5х = 11у + 137.

Левая часть делится на 5 при любом натуральном х. Число 137 при делении на 5 даёт в остатке 2. Значит, чтобы правая часть делилась на 5 без остатка, нужно, чтобы 11у при делении на 5 давало в остатке 3. Тогда сумма будет давать в остатке 2 + 3 = 5 или 0, потому что остаток не бывает больше делителя.

Остаток при делении на 5 произведения 11*у равен произведению остатков сомножителей 11 и у. 11 при делении на 5 даёт в остатке 1. Значит, чтобы произведение давало в остатке 3, нужно, чтобы у давал в остатке 3, т. е. был равен 5n + 3, где n - любое натуральное число. Итак, y = 5n + 3. Подставляя его в равенство 5х = 11у + 137, получаем: 5х = 11*(5n + 3) + 137 = 55n + 33 + 137 = 55n + 170, откуда x = 11n + 34.

Итак, ответ к примеру (г) такой: (11n + 34; 5n + 3), где n принадлежит N - множеству натуральных чисел. Как видно, здесь бесконечное число решений, причём в ответе записаны они все, в виде зависимости от натурального параметра n. Проверкой можно убедиться, что при подстановке решения в исходное уравнение параметр n исчезает, и остаётся верное равенство 137 = 137.

Можно, конечно, решать (а) и (б) методом остатков, но выкладки получаются относительно неудобные, особенно при малом количестве возможных решений, как в примере (а). В таких случаях проще применить метод подбора.

Пример (в) можно решить так же, как и (г), но в данном случае его решить несравненно проще, если выразить у через х:

у = 5х - 17.

Отсюда решение видно сразу: (5n - 17; n)

2; 3.
(12n + 2; 3 - 7n). => n = 0