Существует ли число, кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012? С подробным решением, пожалуйста

Решение:
Пусть a1a2...an¯=10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+...+an - это искомое число.

Составим математическую модель задачи, получим: {10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+...+an=2011za1+a2+...+an=2012k, где n,k,z∈N.
Также заметим, что {224<n<2012z>k

{10n-1⋅a1+10n-2⋅a2+...+an=2011za1+a2+...+an=2012k Вычтем из первого уравнения второе, получим (10n-1-1)⋅a1+(10n-2-1)⋅a2+...+(10-1)an-1=2011z-2012k. Заметим, что левая часть равенства (целая) делится на 9, значит и правая тоже должна делиться на 9.
2011z-2012k=9t⇒z-k=9t+k2011 пусть 9t+k=2011⋅r. Получим: k=z-r⇒z+9t=2012⋅r⇒z=2012⋅r-9t
z>k+r>k. Где t,r∈N.
След. правая часть может делиться на 9. А это значит, что существует такое число число кратное 2011, сумма цифр которого делится на 2012 .

Если мы имеем последовательность цифр - N, то эта последовательность, повторенная произвольное количество раз, будет без остатка делиться на N.
N
NN
NNN
NNNN
И так далее.

Если мы имеем число состоящее из повторенного К раз целого числа N, то сумма цифр в нём равна сумме цифр в числе N помноженной на К . И таким образом, эта сумма цифр будет без остатка делиться на число К.

Отсюда:
если мы, при записи числа, повторим K раз последовательность чисел N, то такое итоговое число будет без остатка делиться на N, а сумма цифр его составляющих будет без остатка делиться на К.
NNNNNNNN...N - и так К раз.

В нашем случае:
N=2011, а К=2012. Таким образом, ответом будет число состоящее из 2012 раз повторенного числа 2011...

201120112011...2011 - и так 2012 раз...