Нужна ли запятая? Как объяснить здесь запятую, какое действует правило? ПРЕЖДЕ ВСЕГО, ПОЗАБОТЬТЕСЬ О СВОЕМ ПИТАНИИ.

Я соглашусь с Ириной Лебедевой.
В зависимости от контекста одни и те же слова выступают то в качестве членов предложения, то в роли вводных слов (следовательно, не членов предложения).
Примеры:
Прежде всего нужно говорить именно об этом — ‘сначала’; Прежде всего, нужно ли говорить именно об этом? — устанавливается связь мыслей, ставится под сомнение необходимость говорить об этом; ср. ту же роль вводного сочетания: Прежде всего, изобретение имеет большое практическое значение; Прежде всего, откуда взяты эти данные?;
ПРЕЖДЕ ВСЕГО, вводное сочетание
То же, что «во-первых, главное». Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2.
Однако это было совсем не так. Прежде всего, оба директора имели паспорта, дипломы, пропуска и другие необходимые документы. Самые же сложные дубли не могли иметь никаких удостоверений личности. А. и Б. Стругацкие, Понедельник начинается в субботу.

! Не смешивать с употреблением в роли члена предложения (в знач. «сперва, вначале, в первую очередь»).
Прежде всего я прочел сказку о стойком оловянном солдатике и маленькой прелестной плясунье, потом – сказку о снежной королеве. К. Паустовский, Сказочник. Предатель в разведке прежде всего открывает имена друзей… Ю. Семенов, Отчаяние.
http://new.gramota.ru/spravka/punctum?layout=item&id=58_627
+++++++++++Это, наверное, вводные слова. Вводные и не вводные, или о ...
gramma.ru/RUS/?id=13.41

Т. е. правильно - Без запятой.

не нужна

Нет, не нужна. Это не вводная фраза. На вопрос КОГДА? отвечают знаменательные наречия времени. Подумай о себе КОГДА? прежде всего (сначала, в первую очередь).

Нужна. Но почему не знаю, у меня интуиция.

Вводная фраза, которую можно исключить из предложения, всегда выделяется запятыми