определите какими частями речи являются выделенные

Есть три грамматических омонима (омоформы) РАДОСТНО:
◆ краткое прилагательное;
◆ наречие;
◆ слово категории состояния.

Эти омоформы и употреблены в данных предложениях.

КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ РАДОСТНО употреблено в предложении № 2. Утро солнечно и радостно.

Слово РАДОСТНО в этом предложении – КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ, так как:
◆ на вопрос КАКОВО УТРО? отвечает (полная форма, РАДОСТНОЕ, – на вопрос КАКОЕ? начальная форма, РАДОСТНЫЙ, – на вопрос КАКОЙ?);
◆ обозначает признак предмета (утра);
◆ в краткой форме изменяется по числам (радостно – радостны), а в единственном числе – по родам (радостно – радостен, радостна);
◆ в предложении является одним из однородных сказуемых при подлежащем УТРО (утро каково? солнечно и радостно).

НАРЕЧИЕ РАДОСТНО употреблено в предложении № 3. Глаза светились радостно.

В этом предложении слово РАДОСТНО – наречие, так как:
◆ относится к глаголу СВЕТИЛИСЬ;
◆ на вопрос КАК, КАКИМ ОБРАЗОМ светились? отвечает;
◆ обозначает признак действия;
◆ не изменяется;
◆ в предложении выполняет роль обстоятельства образа действия (светились как? каким образом? радостно).

№ 1. На душе у ребят было радостно. А в этом предложении РАДОСТНО – СЛОВО КАТЕГОРИИ СОСТОЯНИЯ, так как:
◆ обозначает душевное состояние человека;
◆ на вопросы КАК? КАКОВО? отвечает (как, каково на душе? радостно);
◆ не изменяется;
◆ является сказуемым (было радостно) в предложении без подлежащего (с 8-го класса говорят точнее: является сказуемым в односоставном безличном предложении).
.

обстоятельство.