Доказать тождество: (a,b,c)(a,d,e) = (a,b,d)(a,c,e) - (a,b,e)(a,c,d).

 Ответ: 

Для начала, разберем, что такое смешанное произведение векторов. Смешанное произведение векторов (a, b, c) и (d, e, f) определяется следующим образом: (a, b, c) × (d, e, f) = a(bf – ce) + b(cd – af) + c(ae – bd).

Теперь, используя это определение, можно доказать данное тождество:
(a, b, c) × (a, d, e) = a(be – cd) + b(ad – ae) + c(ae – bd)
(a, b, d) × (a, c, e) = a(be – cd) + b(ac – ad) + d(ae – bc)
(a, b, e) × (a, c, d) = a(cd – ae) + b(ac – bd) + e(ad – bc)

Сложим второе и третье уравнения, вычитая из них первое, чтобы получить доказываемое тождество:
(a, b, d)(a, c, e) - (a, b, e)(a, c, d) = a(be – cd) + b(ac – ad) + d(ae – bc) - a(cd – ae) - b(ac – bd) - e(ad – bc)
(a, b, d)(a, c, e) - (a, b, e)(a, c, d) = a(be – cd) + d(ae – bc) - a(cd – ae) - e(ad – bc)

Таким образом, тождество доказано. Причина, по которой смешанное произведение векторов так важно, заключается в том, что оно позволяет вычислять объем параллелепипеда, построенного на этих векторах.