Решите уравнение с параметром

Посмотрим на многочлен в левой части как на многочлен от переменной a:

a² – a(x² + 2x – 1) + (x³ – x).

Он второй степени. Так что, решив соответствующее уравнений второй степени, получим разложение на множители.

D = (x² + 2x – 1)² – 4(x³ – x) =
= x^4 + 4x² + 1 +4x³ – 2x² – 4x³ + 4x =
= x^4 + 2x² + 1 = (x² + 1)².

Корни: ½((x² + 2x – 1) ± (x² + 1)) = x² + x или x – 1. Значит,

x³ – ax² – (2a + 1)x + a² + a = (a – x + 1)(a – x² – x).

Получаем два уравнения:

1) a – x + 1 = 0, x = a + 1;

2) a – x² – x = 0, x² + x – a = 0, x = ½(–1 ± √(1 + 4a)) при a ≥ −¼.

Ответ: a + 1 при a ∈ R; ½(–1 ± √(1 + 4a)) при a ≥ −¼.

P. S. А вообще логично, чтобы корень был среди делителей свободного члена a² + a = a(a + 1). То есть можно просто проверить x = a, x = –a, x = a + 1, x = –a – 1.