Могу я использовать паспорт после дня рождения 20 лет еще месяц, не меняя его?

Действителен будет. Только вот когда менять потом придешь тебе штраф влупят за просрочку

Ваш паспорт становится недействительным сразу же как только Вам исполнилось 20 лет. 30 дней - это тот срок, который вам дается для замены этого документа. Если не успеете поменять его за эти 30 дней - привлекут к ответственности за нарушение паспортного режима.
Но билеты на паспортные данные старого паспорта купить можете. Просто, когда будут сдавать старый паспорт, попросите выдать Вам временное удостоверение личности (ВУЛ) в котором будут указаны данные Вашего старого паспорта. ВУЛ является полноценной заменой паспорта внутри России. Если же поездка предстоит уже после того, как у Вас на руках будет новый паспорт - вообще нет проблем, надо только лишь проследить при получении нового паспорта, чтобы на его последней странице были указаны данные Вашего старого паспорта.

Срок действия просроченного паспорта – можно ли по нему купить билет, взять кредит и т. д.?

В соответствии с Постановлением Правительства РФ под номером 828 и названием «Об утверждении Положения о паспорте гражданина Российской Федерации, образца бланка и описания паспорта гражданина Российской Федерации», которое было утверждено 08 июля 1997 года и отредактировано 29 февраля 2016 года, житель России обязательно должен обратиться в Федеральную миграционную службу с просьбой заменить старый паспорт в срок не позднее 30 дней
https://pravo812.ru/useful/651-prosrochennyj-pasport-rf.html

На след день после Дня Рождения уже положено идти и подавать заявление на замену, а вместо паспорта обязаны выдать документ, его заменяющий

Если у вас есть загранпаспорт, то можно по нему купить и с ним ехать.