Где можно переночевать двум подросткам, в незнакомом городе, и минимальными затратами?

На улице).

на юге селят, в частном секторе, но адреса нужно заранее знать, по знакомству, потом без фокусов только, частные гостиницы боятся пожаров и полиции обычно
Под видом племянника селят, часто дают какие то поручения, поливать цветы, убирать двор, помогать по ремонту, многие так из Украины и Беларуси не легально живут месяцами на правах родственника или помощника по хозяйству )

В теплотрассе.

Спроси у любого таксиста.

на вокзале в зале ожидание

к ментам проситесь.

В инспекции по делам несовершеннолетних- которых там любят

Официально нигде, а так, не стоит искать приключений. Нет знакомых или родственников, а надо съездить, езжайте на один день без ночевой

приложение Booking вам в помощь

Хостел.

В каждом крупном городе есть приюты для бездомных людей. Приём посетителей в Дом ночного пребывания проводится с 16.00 до 20.00

На вокзале, там где комнаты сдают, не дорого.

В гей-клубе, например. Ещё и бабла срубите...

В спецприёмнике

На дереве.

Можно в подезде

На чердаке, на лестнице в подъезде

Вам предоставят хороший ночлег гей клубы!

Какой город то? Нью-Йорк? Кабул? Саратов ?
Если речь идет о России, то попробуй в хостеле заселится, я помню в казани в 17 лет так заселялся, или на крайняк попробуй сними квартиру

Кстати, переночевать в поезде - отличная идея. И самая безопасная. Тем более, если собираетесь из города в город передвигаться. То есть идете на сайт официальный, тикет ржд ру (через точку латиницей), там очень удобно по всем параметрам подобрать билеты и распланировать маршрут можно идеально.
Второй вариант - сайт каучсерфинг. Регистрируетесь, договариваетесь заранее с каучерами (принимающей стороной), ночуете бесплатно. Выбирайте того, у кого ооочень много отзывов от путешественников, иначе небезопасно может быть.
А вообще будьте умнее, если несовершеннолетние, катайтесь с родителями или хоть кем-то, кто постарше вас.

Если вам нет 14 лет, то ни о каком заселении в хостел, гостиницу и другое место временного проживания без сопровождения взрослого (родителя, опекуна и т. п.) даже речи быть не может. С 14 летнего возраста ребенок может самостоятельно заселиться в место временного проживания при выполнении следующих условий: иметь при себе: а) паспорт (без него не поселят даже взрослого) и б) письменное разрешение от родителей (законных представителей, в том числе и опекунов) на осуществление этих действий. С 14 лет ребенок уже включается в правовую жизнь государства, он получает первый паспорт и круг его обязанностей и прав расширяется. По закону он имеет право заключать сделки и подписывать договора, если этому не препятствуют родители. Съем гостиничного номера – это как раз пример заключения сделки. Разрешение лучше предоставить от обоих родителей и обязательно заверить его у нотариуса. Гостиницы часто перестраховываются, когда принимают несовершеннолетних гостей, поэтому для общего спокойствия им необходим гарант ответственности, который бы предоставили родители даже в свое отсутствие. Иными словами – администратор отеля должен быть уверен в том, что в случае спорной или конфликтной ситуации нести ответственность будет гость или его представитель.