Какое отношение имеет Византийская империя к Римской?

Она пришла ей на смену.

Слово " Вы" родом оттуда. Два императора, обращение к двум людям одновременно одним словом.

Византия и есть Восточная Римская империя

ВИЗАНТИЙСКАЯ ИМПЕРИЯ, принятое в исторической науке наименование государства, возникшего в 4 в. на территории восточной части Римской империи и существовавшего до середины 15 в. В средние века она официально называлась «Империя римлян» («ромеев») .
Россия является правоприемницей Византиии и поэтому считается 3м Римом .

Римская империя распалась на две - Западную и Восточную (Византийскую).

как дочерняя организация

" Византийская (Восточная Римская) империя со времени своего образования в IV веке являлась центром сложных международных отношений и очень рано, обгоняя другие страны Европы, создала весьма искусную и даже изощренную дипломатию. Используя традиции поздней Римской империи, Византия сумела уже в ранний период своей истории создать разветвленную дипломатическую систему, привлечь на службу образованных и знающих людей. Византийский дипломат, купец, миссионер обычно действовали сообща и выполняли важные дипломатические функции. Они неустанно собирали в интересах своего правительства ценные сведения о многих государствах и народах. На основе этих наблюдений рождались интересные описания как соседних с Византией держав, так и отдаленных экзотических стран.

Одним из важнейших направлений византийской дипломатии и внешнеполитической деятельности в эпоху Великого переселения народов стал контроль над ситуацией в степных, предгорных и горных районах Северного Кавказа от Танаиса (Нижнего Дона) и Меотиды (Азовское море) до Каспия. Сменявшие здесь друг друга кочевые сообщества представляли непосредственную опасность для границ империи. В этой связи одним из принципов византийской политики в регионе было поддержание розни и провоцирование конфликтов между разными племенами.

Одновременно империя была заинтересована и в союзе со степняками, так как вплоть до середины VII века главным противником ее в борьбе за влияние на Кавказе являлся Сасанидский Иран. Сравнительно рано в сферу политических интересов империи попали также и области расселения алан, что объяснялось их чрезвычайно важным стратегическим положением в центральной части Кавказа.

Система союзов, заключавшихся с представителями варварского мира, укреплялась политикой христианизации.

Примерно в середине VII века в центре политических комбинаций империи в регионе оказался Хазарский каганат - союзник в противостоянии арабской экспансии на Кавказе и соперник в борьбе за влияние в регионе одновременно.

Взаимное ослабление главных соперников Византии в итоге более чем вековых арабо-хазарских войн, крушение Хазарии после военных поражений от дружин древнерусских князей и освобождение государственных образований Северо-Восточного Кавказа от арабского владычества способствовали активизации политики империи в регионе в X-XII веках. В это время главным политическим союзником Византии на Кавказе являлась Алания, восстановившая свою независимость в связи с ослаблением и распадом Хазарского каганата. Постоянным для византийской политики в регионе в этот период стало и вмешательство в дела Тмутараканского княжества - форпоста Древней Руси.

Активная политика Византии в регионе продолжалась до начала XIII века. После того, как в 1204 году крестоносцы взяли Константинополь, империя временно прекратила свое существование. В 1262 году она была восстановлена, однако ни о какой действенной политике ромейской державы на Кавказе уже не могло быть и речи. "
http://hist.ctl.cc.rsu.ru/Don_NC/Middle/Vizantja.htm