А фразы "не обижайся", "не переживай", "не волнуйся" и др. - разве это сочувствие... А что тогда? Зачем их говорят?

Это зависит от говорящего. И лучшая подруга так может сказать в поддержку, и равнодушный человек, чтобы отмахнуться. Не от слов зависит, а от отношения. Слово "люблю" тоже может быть и теплом необыкновенным, и манипулированием, и просьбой о помощи. За каждым текстом стоит подтекст (или контекст) отношений. Смотрите не на слова. Смотрите в глаза.

просто так

Вообще не сочувствие.
Вместо: "держись", "всё будет хорошо", "пустяки, мелочь" тебе ещё и указывают на твои слабости.

Это не сочувствие, а указание. Их говорят, чтобы избавить себя от необходимости сочувствовать...

По-моему, тут важны не сами слова, а убаюкивающий, успокаивающий тон, интонации голоса, в котором сквозит сочувствие и забота.

забота о здоровье близких

Нет конечно же.
Сочувствие - это умение ставить себя на место другого человека, стремление помочь тем, кому плохо. Всем людям порой приходится страдать, поэтому так важно быть внимательными друг к другу. Искреннее сочувствие друга может облегчить любую боль.
Сочувствие к людям может выражаться по-разному. Можно дать человеку что-то, понимающе посмотреть на него, улыбнуться, тепло обнять или внимательно выслушать. Когда людям грустно, одиноко или они чем-то расстроены, им часто нужно, чтобы кто-то выслушал их рассказ о том, что их тревожит, и тогда они чувствуют себя лучше. Как вы слушаете? Смешной вопрос, правда? Но на самом деле слушать - это не простое умение, которому большинство людей никогда не учится. Подумайте, сколько часов у вас уходит на то, чтобы научиться писать и читать, но, скорее всего, у вас никогда не было уроков слушания. Подумайте обо всех, кого вы любите. Кто из них лучше всего умеет слушать? Как они показывают вам, что им небезразличны вы и то, что вы говорите? Вот несколько советов, которые могут помочь вам научиться слушать не только ушами, но и сердцем.
Старайтесь понять, что думает и чувствует другой человек.
Слушайте все, что вам говорят, не останавливая и не перебивая говорящего.
Внимательно и заинтересованно смотрите на своего собеседника. Можете ли вы по его движениям и выражению лица понять, что он чувствует, когда говорит?
Если вам трудно не думать при этом о посторонних вещах, попробуйте представить себе, что бы вы чувствовали, окажись вы на его месте.
Не спешите давать советы своему собеседнику до тех пор, пока он сам не спросит вашего мнения.
Не рассказывайте о том, как с вами случилось походе событие, а только дайте ему говорить и выслушайте всё, что он хочет сказать.
Как выражается сочувствие?
- С тобой все в порядке?
- Помочь тебе?
- Как ты живешь?
- Как ты себя чувствуешь?
- Что я могу для тебя сделать?

Все зависит от того какой невербальный посыл вы отправляете вместе со словами. Иногда и обращение "дурачок" может поддержать сильнее чем "не волнуйся" и тп.,

Со стороны виднее. Люди очень быстро улавливают причины и внутренние потребности друг друга. Те кто может услышать в фразах свой диагноз, быстрее могут решить свои ситуации.