Можно ли сдавать внаем неприватизированную квартиру?

Враньё. Можно. Только не в наем, а в поднаем.

Во-первых, аренда - это для юридических лиц. Если юрлицо пользуется жильём, то заключает договор аренды (например, нанимает квартиры для проживания своих сотрудников и их семей) .
Во - вторых, наём - это не аренда. Ни в коем случае.
В- третьих - существует понятие "поднайма". Даже если человек не является собственником квартиры (например, муниципальное жильё, собственник - муниципалитет) , то по ЖК РФ он имеет право заключать договор поднайма.

Наниматель жилого помещения, предоставленного по договору социального найма, с согласия в письменной форме наймодателя и проживающих совместно с ним членов его семьи вправе передать часть занимаемого им жилого помещения, а в случае временного выезда все жилое помещение в поднаем.

Договор поднайма жилого помещения, предоставленного по договору социального найма, может быть заключен при условии, если после его заключения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного проживающего составит не менее учетной нормы, а в коммунальной квартире - не менее нормы предоставления.
Поднаниматель не приобретает самостоятельное право пользования жилым помещением. Ответственным перед наймодателем по договору социального найма жилого помещения остается наниматель.

Посмотрите статью 76 Жилищного кодекса РФ.
Договор - правильнее будет, если его составит юрист. Надо все, что ЖК РФ предусматривает, учесть. Это лучше сделать профи.

Обязательное условие сдачи в наем - наличие прав собственности. Если Вы не имеете на помещение прав собственности, зачит Вы - арендатор. Собственник должен предоставить Вам право сдачи арендуемого Вами помещения в субаренду. Чтобы договор был легальным физлицо должно зарегистрировать договор найма в налоговой инспекции, налоговая иногда требует право собственности иногда - нет. Чтобы дать правильный ответ необходимо знать основания Вашего занятия жилплощади.

Можно, только жильцов пропиши, а сам выпишись. УДАЧИ.