Могу ли я поехать в турпоездку (заграницу) с ребенком без разрешения его отца? И на какой срок?

Это зависит во многом от того, куда Вы собрались ехать. Согласно Закона РФ "О въезде в РФ и выезде из РФ" статья 20 ребенок имеет право выезжать в сопровождении хотя бы одного из родителей. На границе, если ребенок не вписан в Ваш паспорт, а едет по собственному, нобходимо предоставить свидетельство о рождении в доказательство вашего родства. Но при оформлении визы на въезд в ин. государство некоторые консульства требуют согласие от того родителя, который не едет с ребенком.

Без нотариально заверенной доверенности от отца - нет.

Можно, если вы едите вместе. Срок пребывания зависит от той страны, куда Вы едите. Например, на Украину - до 90 дней.

15 августа 1996 года N 114-ФЗ

О ПОРЯДКЕ ВЫЕЗДА ИЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
И ВЪЕЗДА В РОССИЙСКУЮ ФЕДЕРАЦИЮ
Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.

В законе идет речь о том, что если один из родителей заявит о своем несогласии.... Так что, если Ваш супруг не заявил несогласия, то и разрешение его Вам не нужно.

нет, нужно разрешение

Походу без разрешения все ж таки никак, придется помириться.