Можно ли поменять паспорт ребенку за несколько месяцев до достижения 16 лет?

Получателями государственной услуги по выдаче (замене) паспортов являются граждане Российской Федерации в случае:
достижения 14-летнего возраста;
достижения 20-летнего возраста;
достижения 45-летнего возраста;
изменения гражданином в установленном порядке фамилии, имени, отчества, сведений о дате (число, месяц, год) и (или) месте рождения;
изменения пола;
непригодности паспорта для дальнейшего использования вследствие износа, повреждения или других причин;
обнаружения неточности или ошибочности произведенных в паспорте записей;
изменения внешности.
утраты (хищения) паспорта.

Поменять с какой целью?

на каком основании?

Можно конечно, а при чем тут 16 лет.... можно и до и после как 15, так и 16, так и 17 лет.. . ни каких трудностей нет.

Не понятна проблема

Простите, в какой стране Вы живете? В 16 лет получали паспорт во времена СССР, насколько я помню :-). А в России паспорта получают в 14 лет, потом меняют их в 20 лет (или раньше, например, при смене фамилии "по браку").
Если речь идет о загранпаспорте, то он выдавался сроком на 5 лет (с 2010 года будет выдаваться сроком на 10 лет) , и - этот паспорт действителен до окончания срока своего действия. Когда срок действия закончится, тогда и поменяете, и 16-летие здесь совершенно ни при чем.

А причем тут 16 лет, сейчас паспорт в 14 получают.

делают даже 2-х недельным малышам. В форме пишется для выезда за границу.