Хочу съездить в Белоруссию с ребенком на один день. Пропустит российская таможня, если нет разрешения матери?

Вы можете выезжать со своим ребенком в любую страну без согласия матери, так же как и ей не требуется такое согласие от вас. Пограничники основываются на ст. 20 ФЗ "О порядке выезда... ". где прямо указано, что согласие требуется только если ребенок выезжает без сопровождения родителей, опекунов, попечителей. Между РФ и Беларусью граница в понимании "паспортный контроль" отсутствует, но если вы решите проехать в иное государство, то на всякий случай возьмите свидетельство о рождении ребенка (для подтверждения своих родственных связей).

Законодательство РФ предусматривает обязательное нотариально удостоверенное согласие родителей при выезде их несовершеннолетних детей за пределы Российской Федерации. Срок, на который выезжает ребенок, значения не имеет. Согласие не требуется опять же по российскому закону, если ребенок выезжает с одним из родителей.
А будут ли сооблюдаться требования Закона должностными лицами РФ или нет однозначно ответить сложно.

Если отец, то да. Я бабушка ездила с доверенность от одного из рордителей.

Да-100% .Мой сын с бабушкой (моей мамой) только недавно ездили туда в санаторий.

Граница между Россией и Беларусью такая же как между Смоленской обл и Московской обл.
Никто НИКОГДА ни у кого такого разрешения/согласия не требует.
В Беларуси вообще такого нет чтобы милиция на улице, в метро и т. д. проверяла у всех подряд регистрацию. Кроме того граждане РФ имеют право находится в РБ без регистрации до 30 дней

скорее всего не пропустит

Откуда съездить-то? Если из России, то нет никакой таможни между Россией и Беларусью. И вообще детей пропускает не таможня, а паспортный контроль-его в поездах тоже нет.