Купили квартиту, а там прописан осужденный. Что делать?

Раз квартира покупалась и не было приватизации - то вообще париться не надо.

Вариант один. Не делать ничего. Регистрация никаких прав не дает, вселиться оснований у него нет. Про обременение тоже чушь. А к 2027 может уже и паспортов не будет. И про регистрацию будет даже смешно рассказывать - типа был такой идиотизм. Как сейчас вспоминают как в СССР профессоров на картошку отправляли. Ставьте счетчики в квартире и все дела.

Второй вариант снять его с регистрации, раз вы так расстраиваетесь из-за нее.

13. Снятие с регистрационного учета без непосредственного участия гражданина производится в случае:

осуждения к лишению свободы - на основании вступившего в законную силу приговора суда;

можно попробовать взять от него доверенность, заверенную начальником колонии и личное заявление на выписку из квартиры и попробовать с этим обратиться в паспортный стол для снятия с регистрации, если не получится, то в суд.

Надо полагать, что вы прекрасно знали о том, что в квартире зарегистрирован человек.
Это называется- продажа квартиры С ОБРЕМЕНЕНИЕМ. Цена в таких случаях может быть до 50% ниже рыночной. Если вы не знали (что вряд ли) и факт обременения был скрыт, то вы вправе требовать признания сделки недействительной.
А выписать осуждённого крайне просто- надо представить в ФМС копию обвинительного приговора суда. В соответствии с Правилами регистрационного учёта осуждённый снимется с рег. учёта без его присутствия и заявления. Но само снятие с рег. учётв вашего вопроса не решит, так как права пользования ЖП он не теряет и по освобождении запросто сможет вчинить вам иск о признании права пользования ЖП.
Поэтому вам необходимо признать его утратившим право пользования ЖП в судебном порядке.

осужденный может написать заявление, заверить начальником тюрьмы
и выпишите
либо через суд

Если родители готовы сына прописать к себе пусть делают это сразу, а вы можете их припугнуть о том, что подадите в суд о не законной сделки купли-продажи квартиры в связи со скрытием прописки сына.