Я гражданка РФ, если мне родственники сделают регистрацию, какие документы нужны и куда обращаться?И платно ли?

Чем докажешь что гражданка РФ?

http://www.rg.ru/2008/01/23/fms-reglament-dok.html

Требования к комплекту документов

16. Для регистрации по месту пребывания гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:

документ, удостоверяющий личность;

заявление о регистрации по месту пребывания по форме N 1 (приложение N 1 к Регламенту) ;

документ, являющийся основанием для временного проживания гражданина по указанному адресу (договор найма (поднайма) , заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение) .

17. Для регистрации по месту жительства гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:

документ, удостоверяющий личность;

заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 6 к Регламенту) ;

документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц) , предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение) , решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением) . Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов.

если в квартире стоят счетчики, то никаких дополнительных затрат не будет
обращаться в паспортный стол

Вся инфа здесь: http://www.fms.gov.ru/

Регистрацию по месту проживания я так полагаю? ) Кварплату им прибавят это однозначно. В паспортный стол с вашим паспортом, документом подтверждающим право собственности на квартиру, и собственник со своим паспортом