Сколько даётся времени, по закону, между выпиской и пропиской?

Законодательством не предусмотрены конкретные сроки. Теоретически, можно всю жизнь прожить вообще без регистрации.
И штрафа за это не будет.
Если же Вы будете постоянно проживать в определенном жилом помещении, Вы обязаны подать документы на регистрацию в течение семи рабочих дней.
Таким образом, Вы можете сняться с регистрационного учета и, скажем, через год зарегистрироваться по другому адресу. Если в течение этого года Вы нигде постоянно не проживали более 90 суток подряд, или просто скажете, что не проживали, никакой штраф Вам не грозит.

Действительно, граждане РФ при смене места жительства должны обратиться за регистрацией по новому месту жительства в течении 7 дней с даты прибытия к новому месту жительства.

Т. е. НЕ с момента снятия с регистрационного учета по старому месту жительства (дня «выписки») , а с момента прибытия к новому месту жительства.

Доказывать (документами) момент прибытия к новому месту жительства вы НЕ должны и не обязаны.

Снявшись с регистрационного учета по прежнему месту вы сколь угодно можете добираться к новому месту, и только через 7 дней с момента прибытия к новому месту должны только обратиться (а НЕ получить уже готовые документы) за регистрацией.
Вы подписали Протокол об административном правонарушении? Дали ли вам её копию? Дали ли вам копию Постановления о привлечении к административной ответственности, подписанное начальником/зам. начальника ТП ОУФМС или просто на голубом глазу сказали «платите штраф столько-то» ?
Для привлечения к административной ответственности, ОНИ должны были доказать, что с момента прибытия вас к новому месту жительства (въезда в новую квартиру) прошло уже более 7 дней, а вы не обратились за регистрацией. Именно они должны доказать, что вы не пребывали в ином жилом помещении все это время.
Даже, если Постановление о привлечении вступило в законную силу, то регистрация по новому месту жительства НЕ обусловлена предварительной оплато штрафа. Т. е. у вас ОБЯЗАНЫ были принять документы на регистрацию по новому месту жительства и зарегистрировать в установленные сроки, параллельно взыскивая с вас штраф.

Отказ в регистрации по причине неуплаты штрафа неправомерен (не предусмотрен Правилами регистрации, введеными в действие Постановлением Правительства, а также Административным регламентом ФМС по регистрации)

Что нужно делать:

- потребовать мотивированный письменный отказ принять у вас документы на регистрацию;

- обжаловать отказ в приеме документов на регистрацию и написать заявление о препятствовании вам выполнить вашу обязанность (вы предоставили все документы, перечисленные в Правилах регистрации и Административном регламенте ФМС, но прошло уже более 6 рабочих дней, но вас до сих пор не зарегистрировали.

Обжаловать в районный ОУФМС (по новому месту жительства) , в районную Прокуратуру.

- обжаловать Протокол/Постановление о привлечении к административной ответственности.

Обжаловать там же и/или в суде

В вашем случае явно видно следущее:

- неправомерные действия должностных лиц ОВиРУ и ТП ОУФМС;
- необоснованная попытка привлечения Вас к административной ответственности.

Увы, подавляющее большинство сотрудников ОВиРУ и ФМС – беззаконники, и зачастую соответствующие нормативно-правовые акты вообще в глаза никогда не видели.

один месяц (ст. 19.15 КоАП РФ).

в течение месяца