Может ли паспортный стол переслать мой загран паспорт мне в другой город? Паспорт будет готов через месяц, я раньше уеду

Если Вы оформляли загранпаспорт старого образца, то такое возможно.

Читаем Административный регламент предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по оформлению и выдаче паспортов гражданина Российской Федерации, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации за пределами территории Российской Федерации, утвержденный Приказом ФМС России от 15.10.2012 N 320.

105. В случае убытия заявителя до получения паспорта к новому месту жительства в другой субъект Российской Федерации, по его заявлению, составленному в произвольной форме и поданному в территориальный орган по новому месту жительства, направляется соответствующий запрос в территориальный орган, оформивший паспорт. По запросу паспорт направляется в территориальный орган по новому месту жительства фельдсвязью или спецсвязью.
Оформленный паспорт направляется вместе с одним экземпляром заявления (приложение N 1 или N 3 к Административному регламенту) . Второй экземпляр заявления до получения информации о выдаче паспорта заявителю территориальным органом, оформившим паспорт, ставится на контроль.
Уполномоченный сотрудник территориального органа по новому месту жительства заявителя при выдаче обеспечивает проставление заявителем подписи в паспорте в реквизите "Подпись владельца" и в заявлении в графе "Паспорт получил", а затем возвращает указанное заявление в подразделение, оформившее паспорт, фельдсвязью или спецсвязью.

З. ы. Паспортные столы к оформлению паспортов не имеют никакого отношения! Жилконтора, что с нее возьмешь.. .

Кто оплачивать будет и отвечать если на почте потеряется ?

по почте смогут, но нужно уточнять у них

нет, необходимо личное присутствие

Как вариант оформить генеральную доверенность на кого-нибудь из близких, они получат и перешлют, но лучше уточнить.