Сегодня к нам пришла оформляться девушка 1982 г. р. с загранпаспортом на бланке СССР сроком действия 2004-2009 год.

Если она из Абхазии, то вполне могли там выдать загранпаспорт на старом бланке. Там такая вакханалия творилась с документами, что все вполне возможно. Все население, кто хотел, практически оптом приняли в гражданство России.
Другое дело, что сейчас этот документ ну никак не может служить для нее документом, удостоверяющим личность. Как минимум потому, что срок действия его истек. Да и СССР уже более 20 лет назад прекратил свое существование.
Поэтому пусть эта девушка сначала определится со своим гражданством, получит документ, удостоверяющий личность, а уже потом обращается куда хочет и по любым вопросам. Отправьте ее в отдел ФМС по месту жительства, там разберутся по существу и скажут, куда ей нужно будет обратиться для документирования.

А где и какое подразделение выдало такой паспорт?

Конечно подделка, неужели в этом могут быть какие-то сомнения? Кроме того, для устройства на работу нужен общегражданский паспорт, если его нет вы не имеете права брать ее не работу.

для гражданина РФ, постоянно проживающему на территории РФ документом удостоверяющим личность является общегражданский паспорт

"Как мог быть выдан паспорт СССР в 2004 году? "
Легко! Старые бланки паспортов, особенно в провинции, сохранялись довольно долго. Я лично свой первый загранпаспорт то ли в 2000, то ли в 2001 также получал на старом советском бланке! Если там в графе Nationality указана Российская Федерация - то все в порядке!

А в чем проблема? Если она подходит Вам как работник - можете принимать. Только имейте ввиду немалый штраф за использование труда нелегальных гастрабайтеров.

Охренеть.. . в полицию ее сдавайте.