как приучить щенка таксы проситься в туалет на улицу?

Вы же сами и ответили на свой вопрос (невозможно моментально спуститься вниз, он может не вытерпеть и "обделаться" в лифте...) .
Щенки (обычно) не могут проситься, этому их надо учить.
Мы своих щенков (пока обучаем) содержим в домашнем вольере. Вы водим на прогулку (обычно сразу) после сна. Если же нас нет дома щенок самостоятельно может на специально выделенном для этого месте (в вольере) освободиться. На улице мы тоже приучаем щенка ходить на специально выделенный для этого участок (он не должен находиться под окнами соседей, рядом с подъездом) .
Пока он у вас не вырос приучите его ходить на пелёночки (выделите уголок в прихожей) . Обмокните пелёночки испражнениями и выделениями и сразу после сна (на поводке) подводите его туда.

поспали-на улицу, поели-на улицу, поиграли-на улицу и т. д. Выносите на руках, а то пока он до лифта добежит-конечно, обделается

для начала пеленку на лестничную клетку или тряпка всегда с собой в лифте. Ситуация решаема вполне. У меня такса в 5месяцев уже все дела делал на улице. Перед тем как кормить например вызывайте лифт и удерживайте, если у вас это такая проблема

Не нужно ждать позыва, накормил и тут же на улицу, одна - две минуты он справит все свои потребности, и никаких проблем.

Щенки до 6 месяцев не могут контролировать свой мочевой пузырь. Поэтому наберитесь терпением, запаситесь тряпками и хлоркой.