Если собаку с рождения поселить в небольшом вольере, с прогулой раз в неделю, это повлияет на её характер?

Повлияет не только на характер, но и здоровье, и скоре всего (смотря когда хозяева опомняться) неоратимо!
Могу предложить Вам реальный пример из жизни, хотя не совсем такой же как у Вас, но все же, щенок немцкой овчарки появился в семье Н" в 2.5 месяца выращивали с особой заботой и кормили и гуляли жил дома, потехоньку они перевели ее в вольер и начили гулять только по ночам, но они ее не травили, проосто не показывали ей людей, когда собаки стало годик с небольшим, они стали побаиваться подходить к клетке, потом и вовсе не могли зайти к ней и перестали вообще с ней гулять. кормить кормили, отдать не хотели, даже когда я на их глазах (хозяин сидел на крыше) вывела из клетки убралась у нее, вычесала и привела ее в порядок.... Когда собаки стукнуло три года ее не стало ( много всяких болячик, пиометра)...

Повлияет и на психику, и на здоровье. Особенно, если в таких условиях держать со щенячьего возраста. Вырастет не собака, а одна сплошная проблема, и это будет уже необратимым. Собаке обязательно нужны прогулки, общение с себе подобными (собаки - стайные животные) . Лишая собаку социализации, вы получите неадекватное животное.

повлияет и не только на психику, но и на внешний вид - она будет отличаться разительно от собак, которые получают ежедневные качественные физнагрузки

и да-изменения и те и другие могут принять необратимый характер

раз в неделю??? ?
вы с ума сошли???? каждый день необходимо.... вот она вас и слопает в один прекрасный день...

Конечно повлияет! Во первых собака будет злой, а вовторых заработает себе кучу болезней! Собака должна бегать а не сидеть на месте.

Знаете, вообще любая собака по своей природе нуждается в общении с человеком. Это изначально стайное животное, и одиночество переносит плохо. Мне очень жаль тех собак, которым не посчастливилось с хозяевами.... прогулка раз в неделю.... щенок не может постоянно сидеть в вольере! Вы должны его как можно чаще выпускать. Играть с ним, учить его командам! Да еще и выходить за пределы участка.