У кота, практически до середины глаза, вылезло третье веко.

Действительно, выдвижение третьего века на поверхность роговицы не является специфическим глазным заболеванием - это признак системных нарушений в состоянии здоровья кошек. Диагноз называется пролапс третьего века (наберите в любом поисковике для общего представления) .
Наиболее часто это связано с вялотекущей (скрытой) вирусной инфекцией, иногда, с травмой головы или при глистной инвазии. Витаминок одних недостаточно для поднятия иммунитета в этом случае.

Обратитесь на сайт ВЕТЕРИНАРНАЯ ОФТАЛЬМОЛОГИЯ Вам помогут ведущие ветеринарные офтальмологи. 

АНАТОМИЯ, ФИЗИОЛОГИЯ И ПАТОЛОГИИ ТРЕТЬЕГО ВЕКА
Бывает так, что небходимо хирургически решить проблему третьего века. Но суть операции заключается не в удалении третьего века, а в востановлении нормального положения выпавшей железы с помощью подшивания, конъюнктивальной пластики и т. п.

идете к НОРМАЛЬНОМУ вету. Сдаете АНАЛИЗЫ. Выясняете ДИАГНОЗ и ЛЕЧИТЕ.
Что-то мне подсказывает, что у вета попросту не были....

ЫЫЫЫЫЫЫЫЫЫЫЫ это ветеринар такое сказал? ну ну
третье веко удаляется под наркозом, ищите другого врача для операции

везите опять к ветеринару, а еще лучше сразу к нескольким

У этого вета там своя атмосфера видимо. Что за бред вообще? Каким образом третье веко должно пройти? Что оно обратно ЗАСОСЕТСЯ что ли? Обратитесь в другую клинику. Третье веко удаляется под наркозом с помощью операции!

Делать операцию под наркозом. Если затянете, кот может остаться без глаза.

Езжайте к другому ветеринару, тут сидеть бесполезно, здесь никто к вам не придет и не сделает операцию.