Может ветеринар без паспорта прививку ставить и щенок с первой прививки может заболеть когда его выводишь в зиму?

Ветеринар должен поставить прививку и данные о прививке ввести в вет. паспорт. Пусть идёт к тому ветеринару и просит вет. паспорт. Щенка выгуливают после карантина (14 дней) после ВТОРОЙ прививки. Щенок может заболеть.

Еще нужна вторая прививка в 3 месяца, гулять однозначно рано.

Вет вам и выдаст этот паспорт

Заводить паспорт для собаки нужно в основном для самого владельца. Без него вы не сможете выезжать за пределы своего региона (не сделают вет справку), а так же в нем необходимо отмечать все прививки собаки, обработки против паразитов и т. д. В будущем, если не будут паспорта с отметками о прививках, в случае если ваша собака укусит другое животное или человека, вы не сможете доказать что ваша собака не больна (напр. бешенством). Заводить паспорт нужно с самого начала, но в вашем случае, теперь перед следующей вакцинацией обязательно обзаведитесь и отмечайте там все процедуры с собакой. И еще, первая вакцинация обязательно должна быть с ревакцинацией через месяц, если у вас все так, то все в порядке, но с таким мелким" собаком" :) нужно очень осторожно гулять зимой, дабы щен не заболел, не простудился. Дело здесь не в привиках, они делаются только от инфекционных заболеваний, чумы плотоядных и т. п., они не защищают ваше животное от элементарной простуды, переохлаждения...