Как родителям показать свою ответственность?

Неделя - это ещё мало =)
Что касается доказывания ответственности, то это тоже не за один день делается. Хорошо, конечно, следить за порядком в квартире, ходить в магазин, приходить вовремя, стараться в учёбе. Но обычно с уходом за животным это мало общего имеет. Потому что, когда дома животное, следить надо и за собой, и за этим маленьким живым существом.
За котёнком надо убирать лоток (а сначала к этому лотку приучить), вовремя и правильно кормить. следить за шерстью, приучать к когтеточке. Готовиться к проблемам: тут котёнок не там в туалет сходил, здесь когти о диван поточил, следом горшок цветочный разбил. Кошки - животные ночные: вам рано в школу - котёнок бегает по квартире и мяукает. Заранее думайте про кастрацию: чтобы у кошки не было постоянных течек, а кот не пометил всю квартиру и не извёл всех ором. Затраты тоже приличные: наполнители для лотка, еда, средства от паразитов, непредвиденные расходы на ветеринаров. К дому животное тоже привязывает: просто так кота на неделю дома не закроешь и не уедешь.

Когда у меня дочь просила в детстве то котенка, то щенка, я ставила одно условие- чтобы в её комнате хотя бы 2 недели подряд был порядок. Без моих напоминаний и вмешательств. Вопрос отпадал на следующий же день. Ну и такой момент. Просто подумай, куда Вы будете девать кота на время своего отъезда? Не с собой же его таскать? А Вы ж, наверняка, куда то и летом уезжаете, да и так в течение года на 2-3 дня. Что будет с котом? А заболеет, кто по ветеринаркам будет бегать? Надо решать все вопросы "на берегу".

Если дело только в этом, то всё легко и просто. Делать уроки, возвращаться с прогулки во сколько сказано, а не после *дцатого звонка, убираться дома, посуду мыть и тд. Без напоминания, самой. Это показатель ответственности и взросления.

Возьмись мыть посуду и мой несколько месяцев)

никому не хочется убирать за ним

Убирайся, хорошо учись, помогай родителям.

Пообещайте, что будете сами за ним ухаживать, кормить, мытт, гулять... и если хоть раз оставите родителям, то можно отдавать)))
Извините конечно, но другого варианта я не знаю)

Неделю-это слишком мало. Я год о собаке просила.