Собака, которую бывшие владельцы сдали на усыпление ходит за мной по пятам, как отучить?

Ходит за вами не потому что ей плохо, а потому что хорошо. Доверяет вам. Абсолютно нормальное поведение взрослой собаки, особенно суки. А скакать не хочется ей. Как и у людей, у собак разные темпераменты. Серьёзной прям травмы, у неё не было, не поняла она, что была в нескольких минутах от смерти. А то что забрали от хозяев, которые её не любили, так невелик стресс. Пройдёт время, освоится лучше, но хвостиком вашим останется всё равно. Не связывайте поведение с усыплением. Просто смена места жительства.

Возраст собаки какой?

собаку нужно качественно нагуливать, запишитесь на дрессплощадку, это сближает и помогает и понимать и управлять собакой, играть она и не должна, взрослая собака все таки

С собакой нужно гулять, за пределами квартиры-двора. Играть с ней, т. е принимать активное участие в процессе игры. Очень немногие собаки играют сами по себе. Я бы даже сказал, что те из них кто по-сообразителнее, к мячу и палкам интереса не испытывают, до тех пор, пока не выясниться, что дрын или мяч - это способ поиграть с хозяином. По моим наблюдениям, те которые играют сами по себе, с более богатым воображением, и шкодят дома - для них предметы как живые. А те которые не играют сами по себе - те более разумные. Речь конечно же о взрослых собаках.

У нас была немецкая овчарка, которую хозяева в возрасте двух лет "списали", и отдали в питомник кавказских овчарок. Там её должны были загрызть местные обитатели. Хозяин таким образом злобил своих питомцев - отлавливал дворняг, и бросал в вольер на растерзание. Что касается Альбы - она отбилась. Не знаю, сколько дней она провела там, но когда озадаченный владелец того питомника предложил моему отцу забрать ее, отец согласился не раздумывая (у нас питомник немецких овч.). Собака прожила 14 лет, и все эти годы хранила ОСОБУЮ преданность отцу.

Только разговорами и лаской. У меня был такой песик так до конца своей жизни был грустный и задумчивый, скромный Взяла его в два года.

Чувствует что с ней хотят сделать, стресс.

А гулять-то выводишь её? Если она рада прогулкам, выводи чаще, и МАКСИМАЛЬНО освобождай поводок, НЕ ДЁРГАЙ собаку, пусть чувствует себя действительно свободной. А если есть возможность выгуливать без поводка - ещё лучше.
Ну и НЕ забывай что она всё равно СКУЧАЕТ по старым хозяевам.

усыпить наконец

А в чем собственно проблема? Ходит хорошо, хвалите, давай те вкусняшки, гуляйте занимайтесь, играйте. Это очень хорошо когда собака сама ищет контакта с владельцем, пользуйтесь этим. Это лучше чем когда собака после смены владельца забивается в дальний угол и не идет на контакт вообще.

Время, только время. Она же понимает, что люди, которые её вырастили её бросили. Для неё это большой стресс, который проходит не за пару месяцев. Примерьте на себя предательство близких людей-через какое время Вы смогли бы радоваться жизни снова? Собаки же как люди, всё понимают. А за Вами ходит, предполагаю, что из чувства благодарности, и, возможно, из боязни опять стать никому не нужной. Игрушки тут не помогут, только любовь, терпение и время. Удачи Вам и Вы молодец, что спасли собачку,

Сводите гулять, познакомьте с другими собаками, сводите в собачий парк если такой есть