Как вы думаете, почему собаки при встрече подолгу нюхают друг у друга под хвостом?

Потому что у собак индикатором опознавания служит индивидуальный запах, издаваемый секретом параанальных желез. Если собака настроена играть, она будет вилять хвостом, выражая радость и заодно разнося этот запах, если же собака боится - она будет поджимать хвост, показывая страх и пытаясь скрыть свой запах. А вообще обычно они ничего не нюхают, если по крайней мере затевается потасовка.

Большая часть информации о мире собака получает через обоняние. Люди - визуалы, для нас важнее глаза, а собачий нос - уникальный прибор, создающий для собаки основную картинку о окружающей среде. причем эта картинка объёмная и протяженная во времени. При знакомстве собаки, как стайные животные, сразу идут на близкий контакт и моментально снимают информацию о другой особи.
При социальных контактах обоняние играет важную роль: запах говорит о возрасте, принадлежности к определенному полу, какой-либо группе, о здоровье животного и т. п. По запаху можно узнать, напугано оно или же, наоборот, уверено в себе. Таким образом, каждая собака имеет как бы свой запаховый “паспорт”, который предъявляется при взаимном обнюхивании:

в половом поведении запаху отводится решающая роль - запах теч кующей суки меняет поведение кобелей и, как следствие, социальный статус самой суки нарушает сложившуюся структуру собачьих групп. При этом могут изменяться физиологические циклы у более молодых сук и, таким образом, регулироваться рождаемость;

взаимное узнавание родителей и щенков происходит по запаху, и хотя вопрос об обонятельном импринтинге еще не решен, он, скорее всего, имеет здесь место;
Кстати, размахивание собачьим хвостом вовсе не приветственный жест, как думают многие, а стремление распространить свой запах и донести его до других.

не все собаки, если сильная собака, на территорию которой забежал чужак, ей нет смысла нюхать задницу и прочее места, длительно изучают собаки примерно одного ранга, в подавляющих случаях там дела до драк не доходит