Как правильно подойти к маме с этим вопросом? Я просто уже год мечтаю о собаке. Помогите, прошу!

Смотря по какой причине она отказывает. Ведь основная забота и ответственность будут лежать именно на ней. Деньги на кормление, ветобслуживание тоже пойдут мамины. Могут быть и какие нибудь чисто бытовые причины. Или еще вариант-мама просто не любит и не хочет.
И год это еще не много. Даже для того, чтоб проверить, насколько сильно твоё желание. Иные дети мечтают и по нескольку лет, и осуществляют свою мечту лишь тогда, когда вырастают и начинают зарабатывать сами.

начните с решения проблемы хорошей заработной платы у мамы, идите подрабатывать и может мама согласится

Мечтать и ухаживать - разные вещи! Очень многие такие вот "мечтатели" через пару дней начинают ныть, почему щенок кусается, не слушается, писает-какает слишком часто!

9 лет просила собаку по нескольку раз в день, и всячески доказывала что буду и выгуливать и дрессировать, ну и старалась устранить все причины не желания мамы заводить собаку. Как итог собаку подарили)))

Никак. Мама ясно сказала, что собаку не хочет и говорить на эту тему тоже. Это её квартира, её финансы, её время - она в праве распоряжаться ими, как сама хочет.

Поставь себя на место матери и успокойся.

А ты сама-то как думаешь, ПОЧЕМУ мама не хочет собаку?
По своей злой натуре, что ли?
Если так, то с этим ничего сделать нельзя - мамину натуру не переделать.
А если не по этой причине, то подумай, по какой,
попробуй её понять, встать на её точку зрения:
- почему мама, которая тебя любит, заботиться о тебе во всяких других вопросах,
в этом вопросе занимает именно такую отрицательную позицию?

Если категорически против - никак. Ждать совершеннолетия, переезжать и заводить. Только так.

У моего знакомого был подобный "мечтатель". Он на гвоздь повесил поводок и сказал сыну, чтобы не видел с 5.30 до 7.00 по утрам ни его, ни поводка в течение 2-х месяцев, а к 7.00 на плите стояла горячая кастрюля с водой (имитация кормежки). Через пару недель мечтания куда-то улетучились.

Никак не надо подходить с этой темой к маме. Если бы мама хотела завести собаку она бы завела, а раз не заводит, значит не готова к собаке, не может себе позволить дополнительные расходы, не имеет опыт содержания собак и понимает что такое завести собаку. А ты здесь вообще не причем. Если бы работала и зарабатывала, имела свое жилье тогда бы могла завести кого бы только захотела. А так как ты находишься на содержании у мамы такой вопрос ты просто не можешь задавать, тем более ты уже получила на него ответ.

Да, да знаю, у сотрудницы дети попросили собачку и уже 10 лет она каждый день по нескольку раз выгуливает собаку, дети уже разъехались, а собака осталась.