Как улучшить свое красноречие? Например книгами, или есть какие-то специальные приложения?

Надо больше общаться с умными, продвинутыми людьми, и читать классическую литературу и стихи. Куприн, Бунин, Паустовский, Стругацкие, Пастернак, Ахматова, Цветаева...

Есть такая наука риторика.

... заняться риторикой... затем - практиковаться... думаю...

риторика (словарная статья)
РИТ’ОРИКА, -и, ж.
1. Теория ораторского искусства.
2. перен. Напыщенная и бессодержательная речь. Пустая р. Впасть в риторику.
прил. риторический, -ая, -ое. Р. вопрос (приём ораторской речи утверждение в форме вопроса).
(Ожегов)

Нет. Истинное красноречие выжовывается годами жизни!

Красноречие - умение красиво говорить. Здесь ключевое слово - красиво, потому что просто говорить умеют все.
Если красота стоит во главе угла, то она будет проявляться во всем - в том числе, в речи.
Если вы имеете в виду умение "заболтать" собеседника, переубедить - то тут, скорее, нужно прокачивать гибкость мышления. Способность вертеть логикой, как вздумается, доказывая недоказуемое. А этому никакие книги не научат. Только практика. Возможно, некоторым не дано развиваться в этом направлении. Но им это и не надо. У них есть другие сильные стороны.

Круг общения и книги конечно не мало важно, но много еще влияет от самого характера человека. Как говорят, через голову не прыгнеш. Ни кто не учил Цецерона, Соломона и многих философов.

Есть, конечно: логика, риторика, дидактика... майэвтика, наконец. Можно и нужно расширять активный словарный запас. НО. Процесс этот творческий и если склонностей нет, то всё бесполезно.

Было бы хорошо брать с кого-то пример, какой-нибудь образец красноречия, под который можно косить