Вопрос касаемо детской психологии

Манипулятивное поведение. Не стоит сразу сурово наказывать, тк проблема может быстро уйти вглубь и решить её станет значительно сложнее. Имеет смысл взять паузу и хорошенько всё обдумать.
Основные факторы, которые могут вызвать такое поведение:
1.Страх наказания, включая эмоциональное наказание. Часто бывает, что наказание не соответствует проступку. Даже, если с вашей стороны наказание кажется адекватным, то с точки зрения ("глазами ребёнка") это может быть совсем не так. Последнее очень важно учесть, тк проблема формируется именно в сознании ребёнка и ваша правота сама по себе не прекратит процесс. Тут нужно понять, что у него, неё в голове.
2. Длительное отсутствие желаемого. Понятно, что ситуации в жизни бывают разные и далеко не всегда имеется возможность что-то купить. Попробуйте сблизить отношения, что-то объяснить, сойдя с родительской высоты (но не полностью, иначе ребёнок не поймёт терминологически). Однако никогда не давайте ложных обещаний - дети очень щепетильны в вопросе доверия. Чувство глубокой общности с родителями очень ценно для ребёнка.
3. Отчуждение. Часто оказывается, что ребёнок остаётся сам по себе даже при том, что с точки зрения родителей он вполне опекаем. Однако в результате ссор, просто выяснений отношений между родственниками, большой занятостью родителей он остаётся как бы один. И понятно, что вы стараетесь для его блага, но ребёнку это малопонятно просто в силу возраста и отсутствия опыта. Постарайтесь решить проблему отчуждённости, настроить диалог без нервов, излишних эмоций и наказаний. Конечно, если проблема уже возникла, то сначала ребёнок может обманывать, вести себя неестественно в силу выработанной привычки к манипуляциям. Что ж, проблема запущена вами и именно вам стоит проявить терпение.
На самом деле, это всё очень кратко и в целом, потому как ситуация неизвестна, переменных может быть очень много. Плюс в том, что ваш ребёнок, по крайней мере, достаточно адаптивен, что, несомненно, поможет в жизни. А минус в том, что манипуляции происходят с близким окружением. Нужно понимать, что на самом деле для ребёнка такой выход из положения является очень болезненным. Ведь для детей этого возраста родители составляют неотъемлемую часть мира вообще, вселенной. По сути, он вступает в конфликт как бы с половиной вселенной, оказывается один против всех. Что может привести к печальным последствиям. Проблему надо решать, но спокойно, без рывков.

Есть деятель с поступком - и есть наказание. Если деятель другой - то и наказание не ему.
Кто сказал, что ребёнок должен оставаться собой? Зачем ему это?

лжет как и родители

А разве многие "взрослые" так не поступают?.. )))
Сплошь и рядом. Почему? )))