Не хочу усыплять кота, но, похоже, придется-как быть, чтобы совесть не мучала?

Предательство на старости лет. Как так можно? Вы взяли ответственность за нее.
А мыть старушку не надо, купите спец. салфетки в ветеринарном отделе и протирайте ее - и ей приятно поглаживание и она чистенькая.

Зачем мучиться животному, тем более старому и больному. Унесите ветеринару, а он уже определит что с ним и подскажет, что делать дальше. Мой котик болел и очень сильно мучился, для него выход был только один. Ему поставили укол. Я не могла смотреть на это и ушла раньше попрощавшись со слезами на глазах, переживали и плакали всей семьей.

Надевайте перчатки и подмывайте вдвоем - но в меру, не до чистоплюйства.
Пока у него нет нестерпимой боли, усыпление равносильно убийству
(и мама от такого зла здоровее не станет).
Он ВАМ будет сниться - долгие годы. Я не шучу.

Ему, похоже, недолго осталось.

Возьми ответственность на себя, тут нет ничего такого, что ты делаешь что-то ужасное. Люди издавна убивают животных, чтобы выжить, поэтому они всегда просили прощение, за отнятие жизни. И совесть их не мучила за это. По этой причине люди исказили сострадание, как и ты, они заменили это на жалость к себе, сострадание всегда идет из чувства ЛЮбви в желании пусть у того, кому мы хотим помочь но не можем, мы желаем всего хорошего, везде, где он столкнется в жизни
, или, даже после смерти

муму читал?

Вызвать ветеринара, он все сделает

Проблема только в том, что не вылизывается и мыть себя не дает? конечно, усыпляйте. И маме расскажите, что, как только вылизываться перестанет, ее ждет та же участь

Отдайте в добрые руки. Вы что?

у него дисбактериоз или патогенная микрофлора, не хочет значит так надо, хотите раньше времени его утилизировать