нелегальный дом в лесу

Грозит ряд статей КоАП РФ: 7.9 - самовольное занятие, 8.6 - порча или уничтожение почвы, 8.28 - незаконная рубка и т. д.
Плюс к этому - ущерб, причинённый лесам в следствии нарушения лесного законодательства. Ущерб будет и по занятию и по порче и по рубке. Причём, если по рубке он превысит 5 000 рублей (а для этого может хватить и одного дерева) , то из административной ответсвенности вырастает уголовная - ст. 260 УК РФ.

Представление об освобождении территории. Если дойдёт до суда - то суд.

Искать будет орган, уполномоченный на осуществление государственного лесного контроля и надзора. Но обычно на таких сразу куча жалоб от жителей приходит. Часто лесничества выявляют - составляют протокол о лесонарушении и направляют его либо в органы внутренних дел (когда неизвестно лицо) , либо сразу в указанный выше орган.

Разумеется, такое строительство (в лесу, без разрешительных документов) незаконно и первый попавшийся лесник стуканет о домике куда следует, после чего по решению суда вас обяжут домик снести за свой счет, мусор вывезти, оплатить кучу штрафов. Нарушений тут масса, искать конкретные статьи, извините, лень.
Однако в России есть немало мест, где ни о каких лесниках и прочих представителях власти не слышали. Ну и с любым представителем можно договориться полюбовно - домик "не заметят". Такое у нас сплошь и рядом.

нельзя строить

придут всякие лешаки, бабки ежки, кикиморы и выгонят :)

Если эта земля не арендована то можно

В жизни может все случиться, можно потерять жилье и остаться без средств. И получается что по закону можно подохнуть под забором, загнуться от холода зимой, а построить себе крышу над головой нельзя, что- бы хоть как-то выжить и не жить бездомной собакой. Законы у нас для людей.