умерла мать.... Осталась приватизированная квартира на мать

"прописать" нельзя...

отец может прописать своего ребенка (до 14 лет) без чьего-либо согласия
ни о какой доле речи даже быть не может
так как у квартиры есть собственник и есть наследники
наследники могут продать свои доли вне зависимости от прописки ребенка в квартире

Нельзя! Долю иметь не будет. Четыре сына будут делить после вступления в права на наследство.

долю в любом случае не будет иметь, даже если бы была там всегда прописана. через суд выпишут к родителям. дети должны быть зарегистрированы по месту регистрации родителей

Наследники могут отказаться от своей доли наследства в пользу другого родственника. Если Ваш сын один из сыновей, то он наследует долю в собственности умершей матери. Вот только после вступления его в наследство, у Вас возникает право наследования, в случае смерти мужа. Но прописать дочь Вы сможите только с согласия всех собственников. Наследники могут продать свои доли, но они обязаны в первую очередь предложить купить ее другим собственникам, только после их письменного отказа от покупки, они могут предложить третьим лицам выкупить их долю.

В соответствии со ст. 65 СК РФ место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей, поэтому ребенок может быть зарегистрирован по месту жительства, как отца, так и матери, при этом по действующему законодательству для регистрации несовершеннолетних по месту жительства родителей согласия иных лиц, проживающих в жилом помещении, не требуется.
Долю внучка иметь не будет, т. к. внуки относятся ко второй очереди наследников.
Продать свои доли наследники могут либо все вместе, либо по отдельности ( сообщив об этом сособственникам ) при этом отец внучки пишет нотариальное обязательство, что он снимается с регистрационного учета вместе с дочерью в течении.. . дней.

прописать нельзя пока наследники не приняли наследство. после вступления наследства отец может прописать дочь без согласия других собственников. а доли у нее не будет.